计算N条直线所有可能的交点个数(动态规划)

计算直线的交点数

Problem Description

平面上有n条直线,且无三线共点,问这些直线能有多少种不同交点数。
比如,如果n=2,则可能的交点数量为0(平行)或者1(不平行)。

问题分析

将n条直线排成一个序列,直线2和直线1最多只有一个交点,直线3和直线1,2最多有两个交点,……,直线n 和其他n-1条直线最多有n-1个交点。由此得出n条直线互不平行且无三线共点的最多交点数:

Max = 1 +2 +……+(n-1)=n(n-1)/2;

这些直线有多少种不同的交点数

 当n = 1, 2, 3时情况很容易分析。当n = 4 时,我们可以按如下分类方法,逐步计算。

 1. 四条直线全部平行,无交点。

 2. 其中三条平行,交点数: 3*(n-3)+0 = 3;

 3. 其中两条平行,而另外两条直线的交点既可能平行也可能相交,因此交点数据分别为:

   2*(n-2) + 0 = 4

   2*(n-2) + 1 = 5

4. 四条直线互不平行, 交点数为1*(n-1) + {3条直线的相交情况}:

   1*(n-1)+0=3 
   1*(n-1)+2=5 
   1*(n-1)+3=6

即n=4时,有0, 3, 4, 5, 6个不同的交点数.所以有5种可能。

从上述n=4的分析过程中,发现:

m条直线的交点数=r条平行线与m-r条直线交叉的交点数+ m-r条直线本身的交点数 =r*(m-r) + m-r条直线之间的交点数。(1<=r<=m)

{m条直线的交点数集合} = U {  r条平行线与m-r条直线交叉的交点数 + {m-r条直线本身的交点数集合}  } =  U {  r*(m-r) + {m-r条直线之间的交点数集合}  }。(1<=r<=m)

 注意:数和集合相加 = 数和集合中每个元素相加组成的新集合。

 如何编写程序?

 程序框架如下:

//Ui表示i条直线的交点数集合

初始化U0= {0}, U1= {0}

For n = 2 to N

   Un = {}                            //初始化Un 为空集

   For i = 1 to n       //i表示平行线个数

                   Un =Un  U  { i*(n-i) + Un-i}        //并运算

 注意:数和集合相加 = 数和集合中每个元素相加组成的新集合。

 用C++代码实现,我们可以用set集合,最简单的方法是用数组表示交点数集合。

二维数组 p[i][j] 表示i条直线,j个交点数是否存在。存在值为1,不存在值为0.

#include <stdio.h>
int main()
{
 int p[21][200], n; //200为交点数的上限,交点数为1+2+3+…(n-1)
 memset(p, 0, sizeof(p));
 for(int i=0; i<21; i++)
 p[i][0]=1; //不管多少直线都存在0个交点的情况,即所有直线平行
 for(int n=2; n<21; n++) //动态规划p[i][j]表示i条直线,交点数为j.当  p[i][j]=1,则表示i条直线中,存在交点数为j的情况
     for(int i=1; i < n; i++) //n条直线平行的情况已经考虑了,无需重复
          for(int j=0; j<200; j++)
              {
                 if(p[n-i][j]==1)
                    p[n][j+i*(n-i)]=1;  

              }

 while (scanf(“%d”, &n) != EOF)
 {
    for (j=0; j <= n*(n-1)/2; j++)   //n*(n-1)/2能形成的最大交点数
    {
     if (f[n][j])
             printf(“%d “,j);
    }
     printf(“\n”);
 }
   return 0;

}

 

 

 

这个是转载别人的,感觉好强大,我一直在想:我怎么当我知道i(n-i)条直线平行时,我又怎么可以把n-i条剩余的直线的所有可能加上去呢。加上去后我怎么存储呢?

而这个程序他运用了逆向的思想,从头到尾做出了所有可能的表格 。要不然怎么叫做规划呢?而且还是动态的?

 

首先他用i行表示多少条线,用数组元素为1表示该元素的j为可能存在的交点个数。

然后从数组2行开始往后规划,规划的方法是:i条线平行。n-i条线得出行数存在的交点情况加上i(n-i),然后在相应得到交点数赋值为1

    原文作者:动态规划
    原文地址: https://blog.csdn.net/somksomk/article/details/8500194
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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