多段资源分配问题

题目内容

设有资源n（n为整数），分配给m个项目， gi(x) 为第i个项目分得资源 x 所得到的利润，求总利润最大的资源分配方案， 也就是解下列问题：
max z=g1(x1)+g2(x2)+...+gm(xm)
x1+x2+...+xm=n , 0≤x1≤n且xi为整数, i=1,2,3，...,m

方法一：暴力法 orz

思路

简单来说就是把每一种情况试一遍，时间复杂度嘛。。。不存在的( O(2N) )
采用多重循环或者递归，时间复杂度太高，这里不讨论。

方法二：动态规划

思路

假设 fi(x) 为将资源x分给前i个项目所获得的最大利润，得出状态转移方程：

{f1(x)=gi(x)    0≤x≤nfi(x)=max(gi(x)+fi−1(n−x))    0≤x≤n

假设：

const int RESOURCE = 4; //有4个资源
const int CASE_NUM = 3; //3个项目

每个项目对应额度的利率：

首先对1号竞争者进行资源分配

那么2号资源和2号资源一起分配的情况：

设对1,2一共分配的资源数为Ｓ
2号项目分配资源数为Ｍ

将1和2的状态合并：

同理， 计算 f3(x) 时， 使用上面方法计算

代码实现：

#include <iostream>

using namespace std;

const int RESOURCE = 4; //资源数量
const int CASE_NUM = 3; //项目数量
//各个项目对应投资量的收益率
const double RATE[CASE_NUM][RESOURCE+1] = {{0, 0.23, 0.35, 0.36, 0.49},
                                         {0, 0.22, 0.36, 0.39, 0.54},
                                         {0, 0.38, 0.45, 0.9, 0.45}};
//保存前i个项目的对于每个资源的最大收益的数组(可以用一维数组代替,这里为debug方便) 
double array[100][100] = {0};

int main(){
    //初始化第一个项目的各个投资数的最佳收益
    for(int i = 0; i <= RESOURCE; i++){
        array [0][i] =  i*RATE[0][i];
    }

    int all = 0;    //all为目前已经投资的资源数
    for(int i = 1; i < CASE_NUM; i++){ //求每个项目的投资数
        int y = 0; //第i - 1 项目要投资的资源
        for(int j = 0; j <= RESOURCE; j++){ ////给前i个项目总共分配的资源，项目投资数 0～RESOURCE
            double maxx = 0;    //当前投资数下最大盈利
            for(int k = 0; k <= j; k++){    //给第i个投资k个资源， k < = RESOURCE
                double temp = array[i - 1][j - k] + k * RATE[i][k];
                if(temp >= maxx){
                    maxx = temp;
                    y = j - k;
                }
            }
            array[i][j] = maxx;
        }
        all += y;
        printf("%d 号CASE投资 %d个\n", i-1, y);
    }
    printf("%d 号CASE投资 %d个\n", CASE_NUM - 1, RESOURCE - all);

    //打印每个项目对于每个数量资源的最大收益的数组(可以省略不要,这里为debug方便) 
    for(int i = 0; i < CASE_NUM; i++){
        for(int j = 0; j <= RESOURCE; j++){
            printf("%lf ", array[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}