贪心算法基本思想和典型例题

一、算法思想

贪心法的基本思路:
——从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标,以尽可能快的地求得更好的解。当达到某算法中的某一步不能再继续前进时,算法停止。
该算法存在问题:
1. 不能保证求得的最后解是最佳的;
2. 不能用来求最大或最小解问题;
3. 只能求满足某些约束条件的可行解的范围。

实现该算法的过程:
从问题的某一初始解出发;
while 能朝给定总目标前进一步 do
   求出可行解的一个解元素;
由所有解元素组合成问题的一个可行解;

二、例题分析

1、[背包问题]有一个背包,背包容量是M=150。有7个物品,物品可以分割成任意大小。
要求尽可能让装入背包中的物品总价值最大,但不能超过总容量。

物品   A   B   C   D   E   F   G
重量  35  30  60  50  40  10  25  
价值  10  40  30  50  35  40  30

分析:

目标函数: ∑pi最大
约束条件是装入的物品总重量不超过背包容量:∑wi<=M( M=150)

(1)根据贪心的策略,每次挑选价值最大的物品装入背包,得到的结果是否最优?
(2)每次挑选所占空间最小的物品装入是否能得到最优解?
(3)每次选取单位容量价值最大的物品,成为解本题的策略。

 

    实现这个算法是学习算法分析与设计这门课程的需要。

    贪心算法是所接触到的第一类算法。算法从局部的最优出发,简单而快捷。对于一个问题的最

优解只能用穷举法得到时,用贪心法是寻找问题次优解的较好算法。

    贪心法是一种改进了的分级处理方法。用贪心法设计算法的特点是一步一步地进行,根据某个

优化测度(可能是目标函数,也可能不是目标函数),每一步上都要保证能获得局部最优解。每一

步只考虑一个数据,它的选取应满足局部优化条件。若下一个数据与部分最优解连在一起不再是可

行解时,就不把该数据添加到部分解中,直到把所有数据枚举完,或者不能再添加为止。这种能够

得到某种度量意义下的最优解的分级处理方法称为贪心法。

    选择能产生问题最优解的最优度量标准是使用贪心法的核心问题。

    假定有n个物体和一个背包,物体i 有质量wi,价值为pi,而背包的载荷能力为M。若将物体i的

一部分xi(1<=i<=n,0<=xi<=1)装入背包中,则有价值pi*xi。在约束条件

(w1*x1+w2*x2+…………+wn*xn)<=M下使目标(p1*x1+p2*x2+……+pn*xn)达到极大,此处

0<=xi<=1,pi>0,1<=i<=n.这个问题称为背包问题(Knapsack problem)。

    要想得到最优解,就要在效益增长和背包容量消耗两者之间寻找平衡。也就是说,总应该把那

些单位效益最高的物体先放入背包。

    在实现算法的程序中,实现算法的核心程序倒没碰到很大的问题,然而实现寻找最优度量标准

程序时麻烦不断!

    在寻找最优度量标准时,大致方向是用冒泡排序算法。也就是根据p[i]/w[i]的大小来对w[i]来

排序。

    在直接用此算法时,可以有如下的一段代码:

    //根据效益tempArray[i]对重量w[i]排序,为进入贪心算法作准备

1   void sort(float tempArray[], flaot w[], int n)

2   {

3       int i = 0, j = 0;

4       int index = 0;

5    

6       //用类似冒泡排序算法,根据效益p[i]/w[i]对w[i]排序

7       for (i = 0; i < n; i++)

8    {

9           float swapMemory = 0;

10          float temp;

11

12          temp = tempArray[i];

13          index = i;

14

15          for (j = i + 1; j < n; j++)

16          {          

17              if (temp < tempArray[j])

18        {

19                  temp = tempArray[j];

20                  index = j;

21        }

22       }

23   

24          //对w[i]排序

25          swapMemory = w[index];

26          w[index] = w[i];

27          w[i] = swapMemory;

28      }

29

30      return;

31  }

    然而仔细对算法分析后可以发现,“拿来主义”在这里用不上了!

    对算法的测试用例是p[3] = {25, 24, 15};w[3] = {18, 15, 10}。得到的结果如下:

    please input the total count of object: 3

    Please input array of p :

    25 24 15

    Now please input array of w :

    18 15 10

    sortResult[i] is :

    1   -107374176.000000   1   1.600000   2    1.600000

    after arithmetic data: x[i]

    0.000000        0.333333        0.000000 

    可以看到其效益为x[3] = {1.4, 1.6, 1.5},于是在M = 20的情况下,其预想中的输出结果是

0,1,0.5。然而事实上是不是就这样呢?

    当程序进入此函数经过必要的变量初始化后,进入了外围循环,也就是程序的第7行。第一轮循

环中,temp = tempArray[0] = 1.4,index = i = 0;程序运行到第15行,也就是进入了内层循环。

内层循环的主要任务是从第i + 1个元素之后找到一个最大的效益并保存此时的下标。到了第24行后

,就开始对w[i]进行排序。

    问题就在这里了!排序后的w[i] = {1.6, 1.6, 1.5},因此对w[i]排序后就既改变了w[i]的原

有顺序,还改变了w[i]的原来值!

    据此,做出一些修改,得到了如下的一段代码:

1   void sort(float tempArray[], int sortResult[], int n)

2   {

3       int i = 0, j = 0;

4       int index = 0, k = 0;

5

6       for (i = 0; i < n; i++)//对映射数组赋初值0

7    {

8           sortResult[i] = 0;

9    }

10

11      for (i = 0; i < n; i++)

12      {

13          float swapMemory = 0;

14          float temp;

15

16          temp = tempArray[i];

17          index = i;

18

19          for (j = i; j < n; j++)

20          {          

21              if ((temp < tempArray[j]) && (sortResult[j] == 0))

22        {

23                  temp = tempArray[j];

24                  index = j;

25        }

26       }

27

28          if (sortResult[index] == 0)

29       {

30              sortResult[index] = ++k;

31       }

32      }

33

34      for (i = 0; i < n; i++)

35      {

36          if (sortResult[i] == 0)

37       {

38              sortResult[i] = ++k;

39       }

40      }

41

42      return;

43  }

    修改后最大的一个改变是没有继续沿用直接对w[i]排序,而是用w[i]的一个映射数组

sortResult[i]。sortResult[i]中元素值存放的是根据效益计算得w[i]的大小顺序!这样w[i]原有

的值和位置都没有改变,从而使算法得以实现!

    至于有没有更好的实现版本,还在探索中!

#include

#define MAXSIZE 100  //假设物体总数

#define M 20      //背包的载荷能力

//算法核心,贪心算法

void GREEDY(float w[], float x[], int sortResult[], int n)

{

    float cu = M;

    int i = 0;

    int temp = 0;

    for (i = 0; i < n; i++)//准备输出结果

    {

        x[i] = 0;

    }

    for (i = 0; i < n; i++)

    {

        temp = sortResult[i];//得到取物体的顺序

        if (w[temp] > cu)  

        {

            break;

        }

        x[temp] = 1;//若合适则取出

        cu -= w[temp];//将容量相应的改变

    }

    if (i <= n)//使背包充满

    {

        x[temp] = cu / w[temp];

    }

    return;

}

void sort(float tempArray[], int sortResult[], int n)

{

    int i = 0, j = 0;

    int index = 0, k = 0;

    for (i = 0; i < n; i++)//对映射数组赋初值0

    {

        sortResult[i] = 0;

    }

    for (i = 0; i < n; i++)

    {

        float temp = tempArray[i];

        index = i;

        //找到最大的效益并保存此时的下标

        for (j = 0; j < n; j++)

        {          

            if ((temp < tempArray[j]) && (sortResult[j] == 0))

            {

                temp = tempArray[j];

                index = j;

            }

        }

        //对w[i]作标记排序

        if (sortResult[index] == 0)

        {

            sortResult[index] = ++k;

        }

    }

    //修改效益最低的sortResult[i]标记

    for (i = 0; i < n; i++)

    {

        if (sortResult[i] == 0)

        {

            sortResult[i] = ++k;

        }

    }

    return;

}

//得到本算法的所有输入信息

void getData(float p[], float w[], int *n)

{

    int i = 0;

    printf(“please input the total count of object: “);

    scanf(“%d”, n);

    printf(“Please input array of p :\n”);

    for (i = 0; i < (*n); i++)

    {

        scanf(“%f”, &p[i]);

    }

    printf(“Now please input array of w :\n”);

    for (i = 0; i < (*n); i++)

    {

        scanf(“%f”, &w[i]);

    }

    return;

}

void output(float x[], int n)

{

    int i;

    printf(“\n\nafter arithmetic data: advise method\n”);

    for (i = 0; i < n; i++)

    {

        printf(“x[%d]\t”, i);

    }

    printf(“\n”);

    for (i = 0; i < n; i++)

    {

        printf(“%2.3f\t”, x[i]);

    }

    return;

}

void main()

{

    float p[MAXSIZE], w[MAXSIZE], x[MAXSIZE];

    int i = 0, n = 0;

    int sortResult[MAXSIZE];

    getData(p, w, &n);

    for (i = 0; i < n; i++)

    {

        x[i] = p[i] / w[i];

    }

    sort(x, sortResult, n);

    GREEDY(w, x, sortResult, n);

    output(x, n);

    getch();

}

 

 注释::

代码运行过程中如果用的VC出现getchar()undefined,请添加#include头文件,如果添加后出现one or more multiply defined symbols found,关闭vc重新建立一个新文件即可

    原文作者:贪心算法
    原文地址: https://blog.csdn.net/fbz123456/article/details/51072736
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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