一、说明
纠结了很久动态规划法与贪心算法的异同，光看理论文字的说明，没有能彻底搞清楚两者的区别究竟是什么。发现大家举得最多的一个
比较两者区别例子就是找钱问题。解决这个找钱问题，可以很大程度上帮助我们理解动态规划法语贪心算法的区别
二、问题
现只有面额为 11元、5元、1元的三种人民币。
给定一个 数目为 money 的人民币，如何用这三种面额的人民币 找开它，且用的人民币张数最少
如：给定 10元，我们可以有以下找法：
2张 5元面额
1张 5元面额 + 5 张 1元面额
10张 1元面额
我们 选择第一种找法。只用两张人民币。
三、分析
利用动态规划法可以找到最优解。
利用贪心算法可以找到最优解（问题满足贪心选择性质时。该找钱问题在 11、5、1三种面额的情况下不满足该性质）
或者找到近似 最优解（在本题设定的三种面额的情况下 便是如此）
如果现在要找开 15元钱，则
1. 根据动态规划法的解题思想，得到最优解为 3张 5元面额的 ， 总共 3张
2. 根据贪心算法的解题思想，得到的近似最优解为 1张 11元面额的 加上 4张 1元面额的， 总共 5张
从这就可以大略的看到 两个的区别
四、代码实现找钱问题的 动态规划法与贪心算法 两种解法，形成对比
/********************************************************** *问 题：有最小面额为 11 5 1的三种人民币，用最少的张数找钱 *描 述：动态规划与贪心算法 解决问题 比较 *作 者：JarvisChu **********************************************************/ #include<stdio.h> #define N 4 #define VALUE1 11 //面额为 11元的人民币 （可以修改） #define VALUE2 5 //面额为 5元的人民币 （可以修改） #define VALUE3 1 //面额为 1元的人民币 （不要修改，不然会有找不开的情况） #define MAX_MONEY 1000 //能找开的钱的上限 /***************************动态规划法******************************** *方法： * int Num[MAX_MONEY]; //Num[i]保存要找开 i 元钱，需要的最小人民币张数 * int Num_Value[N][MAX_MONEY]; //Num_Value[i][j] 表示 要找 j元钱，需要面额 VALUEi 的人民币张数 * * Num[i] = i; 0<= i <=4 * Num[i] = min(Num[i-VALUE1]+1,Num[i-VALUE2]+1,Num[i-VALUE3]+1) */ //————————-求最小值——————————— int min(int a,int b,int c){ return a<b ? (a<c ? a:c):(b<c ? b:c); } //————————-求最优值——————————— int DP_Money(int money,int Num[]){ //获得要找开money元钱，需要的人民币总张数 int i; for(i=0;i<=VALUE2;i++){ //0~4 全用 1元 Num[i]=i; } for(i=VALUE2;i<=money;i++){ //从5元开始 凑钱 if(i-VALUE1 >= 0){ //如果比 11 元大，说明多了一种用11元面额人民币的可能 //从用 11元、5元、1元中 选择一个张数小的 Num[i] = min(Num[i-VALUE1]+1,Num[i-VALUE2]+1,Num[i-VALUE3]+1); } else{ //从5元、1元中 选择一个张数小的 Num[i] = (Num[i-VALUE2]+1) < (Num[i-VALUE3]+1) ? (Num[i-VALUE2]+1):(Num[i-VALUE3]+1); // Num[i] = min(Num[i-VALUE2]+2,Num[i-VALUE2]+1,Num[i-VALUE3]+1); } } return Num[money]; } //————————-求最优解——————————— void BestChoice(int money,int Num[],int Num_Value[N][MAX_MONEY]){ //要找 money 元钱，总人民币张数放在Num[money]中 //Num[1~3][money]分别保存三种面额的张数 int i; for(i=0;i<VALUE2;i++){ Num_Value[1][i] = 0; Num_Value[2][i] = 0; Num_Value[3][i] = i; } for(i=VALUE2;i<=money;i++){ if((i>=VALUE1) && (Num[i] == (Num[i-VALUE1]+1))){ //i 是由 i-11+11 构成 即i元是由 i-11元 加上一张面额11元的人民币构成 Num_Value[1][i] = Num_Value[1][i-VALUE1]+1; //多一张 11元面额人民币 Num_Value[2][i] = Num_Value[2][i-VALUE1]; // 5元面额人民币 张数一样多 Num_Value[3][i] = Num_Value[3][i-VALUE1]; // 1元面额人民币 张数一样多 } else if(Num[i] == (Num[i-VALUE2]+1)){ //i 是由 i-5+5 构成 Num_Value[1][i] = Num_Value[1][i-VALUE2]; //11元面额人民币 张数一样多 Num_Value[2][i] = Num_Value[2][i-VALUE2]+1; //多一张 5元面额人民币 Num_Value[3][i] = Num_Value[3][i-VALUE2]; // 1元面额人民币 张数一样多 } else if(Num[i] == (Num[i-VALUE3]+1)){ //i 是由 i-1+1 构成 Num_Value[1][i] = Num_Value[1][i-VALUE3]; //11元面额人民币 张数一样多 Num_Value[2][i] = Num_Value[2][i-VALUE3]; // 5元面额人民币 张数一样多 Num_Value[3][i] = Num_Value[3][i-VALUE3]+1; //多一张 1元面额人民币 } else{ } } } /***************************贪心算法******************************** *方法： * Num_Value[i]表示 面额为VALUEi 的人民币用的张数 * 能用大面额的人民币，就尽量用大面额 */ int Greed(int money,int Num_Value[]){ //要找开 money元人民币，Num_Value[1~3]保存 三种面额人民币的张数 int total=0; //总张数，返回值也即是总张数。 Num_Value[1] = 0; Num_Value[2] = 0; Num_Value[3] = 0; for(int i=money;i>=1;){ if(i >= VALUE1){ Num_Value[1]++; i -= VALUE1; total++; } else if(i >= VALUE2){ Num_Value[2]++; i -= VALUE2; total++; } else if(i >= VALUE3){ Num_Value[3]++; i -= VALUE3; total++; } else{ } } return total; } void main(){ //测试 动态规划法 /* int i; int money = 23; int Num[MAX_MONEY]; //Num[i]保存要找开 i 元钱，需要的最小人民币张数 int Num_Value[N][MAX_MONEY]; //Num_Value[i][j] 表示 要找 j元钱，需要面额 VALUEi 的人民币张数 printf(“%d/n”,DP_Money(money,Num)); printf(“——————————————-/n”); BestChoice(money,Num,Num_Value); printf(“——————————————-/n”); for(i=0;i<=money;i++){ printf(“Num[%d]=%4d, %3d, %3d, %3d/n”,i,Num[i],Num_Value[1][i],Num_Value[2][i],Num_Value[3][i]); } */ //测试 贪心算法 /* int i; int Num_Value_Greed[4]; for(i=0;i<=40;i++){ //从0 元到 40 元的每一个找钱方式 Greed(i,Num_Value_Greed); printf(“%d—->>> %d,%d,%d/n”,i,Num_Value_Greed[1],Num_Value_Greed[2],Num_Value_Greed[3]); } */ //比较两个算法 int i; int dp,grd; //分别保存动态规划法和贪心算法得到的人民币总张数 int money; //要找的钱 int Num[MAX_MONEY]; //Num[i]保存要找i花费的银币的数目 int Num_Value[N][MAX_MONEY]; //Num_Value[i][j] 表示 要找 j 花费的 面值为 VALUEi 的硬币 的数目 int Num_Value_Greed[N]; //Num_Value_Greed[i] 表示 面值为VALUEi 的人民币 数目 money = 15; //可以为任意非负整型值（15 元是一个比较典型的可以区分两种算法的值） dp = DP_Money(money,Num); //动态规划法 BestChoice(money,Num,Num_Value); grd = Greed(money,Num_Value_Greed); //贪心算法 printf(“要找的钱 为：%d/n/n”,money); printf(” 算法 张数 11元 5元 1元/n”); printf(“动态规划 %-4d %-4d %-3d %-3d/n”,dp,Num_Value[1][money],Num_Value[2][money],Num_Value[3][money]); printf(“贪心算法 %-4d %-4d %-3d %-3d/n”,grd,Num_Value_Greed[1],Num_Value_Greed[2],Num_Value_Greed[3]); }
