算法导论第三版16.1-4 贪心算法(区间图着色问题)

将英文版的答案翻译过来的,互相交流学习,新手轻喷。


假定有一组活动,需要将它们安排到一些教室,任意活动可以使用任意的教室。希望利用最少的教室完成所有活动的安排。


设S是n个活动的集合

利用贪心算法从S中找到一个最大规模的相容集合S1,把他们安排到第一个教室,然后从S-S1中继续找一个最大相

容集合S2,安排到第二个教室。一直这样直到所有活动都被安排,最差需要O(n^2)的时间,而且这样会使得结
果需要更多不必要的教室。
考虑以下活动【1,4】、【2,5】、【6,7】、【4,8】。贪心算法把【1,4】和【6,7】安排在第一个教室,
剩下的【2,5】、【4,8】分别占用一个教室,一共占用了3个教室。但是最优的选择是把【1,4】和【4,8】放
在一个教室,【2,5】和【6,7】放在一个教室,这样只用了2个教室。

考虑一个修正的算法,渐进时间仅仅是需要将活动排序的时间。
一般的思想是把所有的活动按开始时间排序,在允许时间内安排每一个活动。这样需要按照活动时间把整个集合进
行移动。我们建立两个链表,里面放的是教室。一个里面放在当前时刻t被占用的教室(busy),另一个里面放在t时刻没被占用的教室(free)。我们可知,如果Si》=fj,认为i和j是相容的。当t是某个活动的开始时间时,把这个活动
安排到一个空教室,然后把这个教室从free链表转移到busy链表。当t是某个活动的结束时间时,把这个活动所在的教室从busy链表转移到free链表。

如果可能,为了避免使用没必要的教室,总是先使用已经安排过活动的教室,而不使用从未安排过活动的教室。(可以通过把已使用过的空教室放在链表的头部,取教室时从链表头部开始取来实现)

综上,这样可以保证使用尽可能少的教室。直到安排m个教室时,算法终止。此时,让活动i成为教室m的第一个活动只有在时刻Si,前m-1个教室都被安排时,活动i才会被安排在第m个教室。此时,就有m个活动同时发生。因此,任
何安排都至少使用m个教室,这样的安排就是算法最优解

运行时间:将n个活动按照开始和结束时间排序(有2n个时间),当Si=fj时,先安排活动j。这需要O(nlgn)时间
(最好时间为O(n))。安排每个活动需要的时间为O(n),因为每次移动消耗时间为O(1)。

总计时间为O(n+排序时间)。(可以认为是(O(n+logn))。



    原文作者:贪心算法
    原文地址: https://blog.csdn.net/sinat_30440627/article/details/50222547
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