贪心算法-数列极差问题

【题目描述】 

 在黑板上写了N个正整数做成的一个数列，进行如下操作：每一次擦去其中的两个数a和b，然后在数列中加入一个数a×b+1，如此下去直至黑板上剩下一个数，在所有按这种操作方式最后得到的数中，最大的max，最小的为min，则该数列的极差定义为M=max-min。

编程任务：对于给定的数列，编程计算出极差M。

输入输出样例：

输入：                    

4

2 1 4 3

输出：

13

【算法分析】

当看到此题时，我们会发现求max与求min是两个相似的过程。若我们把求解max与min的过程分开，着重探讨求max的问题。

下面我们以求max为例来讨论此题用贪心策略求解的合理性。

讨论：假设经（Ｎ－3）次变换后得到３个数：a ,b , max＇（max＇≥ａ≥ｂ），其中max＇是（Ｎ－２）个数经（Ｎ－３）次ｆ变换后所得的最大值，此时有两种求值方式，设其所求值分别为 z1，z2，则有：z1＝(ａ×ｂ＋１）×max＇＋１，z2＝(ａ×max＇＋１）×ｂ+１所以z1－z2＝max＇－ｂ≥０若经（Ｎ－２）次变换后所得的３个数为：ｍ，ａ，ｂ（ｍ≥ａ≥ｂ）且ｍ不为（Ｎ－２）次变换后的最大值，即ｍ＜max＇则此时所求得的最大值为：

z3＝（ａ×ｂ+１）×ｍ+１此时z1－z3＝(１+ａｂ）（max＇－ｍ）＞０　所以此时不为最优解。

所以若使第ｋ（１≤ｋ≤Ｎ－１）次变换后所得值最大，必使（ｋ－１）次变换后所得值最大（符合贪心策略的特点2），在进行第ｋ次变换时，只需取在进行（ｋ－１）次变换后所得数列中的两最小数ｐ，ｑ施加ｆ操作：ｐ←ｐ×ｑ+1，ｑ←∞即可（符合贪心策略特点1），因此此题可用贪心策略求解。在求ｍin时，我们只需在每次变换的数列中找到两个最大数ｐ，ｑ施加作用 ｆ：ｐ←ｐ×ｑ+１，ｑ←-∞即可．原理同上。

这是一道两次运用贪心策略解决的一道问题，它要求选手有较高的数学推理能力。

import java.util.Scanner;


public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int N = sc.nextInt();
		int [] n = new int[N];
		int max,min;
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			n[i] = sc.nextInt();
		}
		int[] nclone = n.clone();//拷贝一次数组，因为有两次操作，分别求max和min。
		//求出MAX：
		int m = 0;
		while(m != N-1){
			for (int i = m; i < m+2; i++) {//循环为m到m+2，因为每次只要求出两个最小的值。
				for (int j = i+1; j < n.length; j++) {
					if(n[j]<n[i]){
						int temp = n[j];
						n[j] = n[i];
						n[i] = temp;
					}
				}
				if(i==m+1){
					n[i] = n[i-1]*n[i]+1;
				}
			}
			m++;
		}
		max = n[N-1];
		
		//求出MIN：
		m = 0;//重新初始化m。
		while(m != N-1){
			for (int i = m; i < m+2; i++) {
				for (int j = i+1; j < nclone.length; j++) {
					if(nclone[j]>nclone[i]){//事实上只是将小于号改为大于号即可。
						int temp = nclone[j];
						nclone[j] = nclone[i];
						nclone[i] = temp;
					}
				}
				if(i==m+1){
					nclone[i] = nclone[i-1]*nclone[i]+1;
				}
			}
			m++;
		}
		min = nclone[N-1];
		
		//MAX - MIN ：
		System.out.println(max - min);
	}
}

编程的思路：

每次排序仅排除最小(或最大)的两个数,然后将二者运算的结果放在第二个数的位置，然后从第二个数的位置开始往后排序，重复上述过程。最后得到数组最末尾的那个数就是运算的MAX(或MIN)的结果。MAX-MIN即可得解。