Combinations

Given two integers n and k, return all possible ombinations of k numbers out of 1 … n.

For example, If n = 4 and k = 2, a solution is:

[
  [2,4],
  [3,4],
  [2,3],
  [1,2],
  [1,3],
  [1,4],
]

回溯法

复杂度

时间 O(N) 空间 O(K)

思路

通过深度优先搜索，回溯出所有可能性即可。

代码

public class Solution {
    
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
    
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        dfs(1, k, n, new ArrayList<Integer>());
        return res;
    }
    
    private void dfs(int start, int k, int n, List<Integer> tmp){
        // 当已经选择足够数字时，将tmp加入结果
        if(k == 0){
            res.add(new ArrayList<Integer>(tmp));
        }
        // 每一种选择数字的可能
        for(int i = start; i <= n; i++){
            tmp.add(i);
            dfs(i + 1, k - 1, n, tmp);
            tmp.remove(tmp.size() - 1);
        }
    }
}

公式法

复杂度

时间 O(N) 空间 O(N)

思路

在数学中，组合数有这么一个性质
$$ C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}\cup n+C_{n-1}^{k}$$
所以，我们可以分别求出C(n-1,k-1)和C(n-1,k)，并将前者都加上n，最后将两个结果和到一起，就是C(n,k)。而递归的Base条件是当n=0,k=0或者n<k时，返回一个空列表。

注意

当C(n-1,k-1)返回的是空列表时，要加一个空列表进去，否则for循环会被跳过

代码

public class Solution {
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        // Recursion: C(n, k) = C(n-1, k-1) U n + C(n-1, k)
        // Base: C(0, k) C(n, 0) n < k ---> empty
        List<List<Integer>> res = new LinkedList<List<Integer>>();
        if(n < k || n == 0 || k == 0){
            return res;
        }
        // C(n-1, k-1) U n
        List<List<Integer>> temp = combine(n-1, k-1);
        List<List<Integer>> part1 = new LinkedList<List<Integer>>();
        // 加入一个空列表，防止跳过for循环
        if(temp.isEmpty()){
            List<Integer> list = new LinkedList<Integer>();
            temp.add(list);
        }
        for(List<Integer> list : temp){
            list.add(n);
            part1.add(list);
        }
        // C(n-1, k)
        List<List<Integer>> part2 = combine(n-1, k);
        res.addAll(part1);
        res.addAll(part2);
        return res;
    }
}