前面讨论的查找都是内查询算法，被查询的数据都在内存。当查询的数据放在外存，用平衡二叉树作磁盘文件的索引组织时，若以结点为内外存交换的单位，则找到需要的关键字之前，平均要进行lgn次磁盘读操作，而磁盘、光盘的读写时间要比随机存取的内存代价大得多。其二，外存的存取是以“页”为单位的，一页的大小通常是1024字节或2048字节。
针对上述特点，1972年R.Bayer和E.M.Cright提出了一种B-树的多路平衡查找树，以适合磁盘等直接存取设备上组织动态查找表。B-树上算法的执行时间主要由读、写磁盘的次数来决定，故一次I/O操作应读写尽可能多的信息。因此B-树的结点规模一般以一个磁盘页为单位。一个结点包含的关键字及其孩子个数取决于磁盘页的大小。
一、基本概念
B-树又称为多路平衡查找树。
一棵度为m的B-树称为m阶B_树。一个结点有k个孩子时，必有k-1个关键字才能将子树中所有关键字划分为k个子集。B-树中所有结点的孩子结点最大值称为B-树的阶，通常用m表示。从查找效率考虑，一般要求m≥3。一棵m阶的B-树或者是一棵空树，或者是满足下列要求的m叉树：
（1）根结点或者为叶子，或者至少有两棵子树，至多有m棵子树。
（2）除根结点外，所有非终端结点至少有ceil(m/2)棵子树，至多有m棵子树。
（3）所有叶子结点都在树的同一层上。
（4）每个结点的结构为：
（n，A0，K1，A1，K2，A2，… ，Kn，An）
其中，Ki(1≤i≤n)为关键字，且Ki<Ki+1(1≤i≤n-1)。
Ai(0≤i≤n)为指向子树根结点的指针。且Ai所指子树所有结点中的关键字均小于Ki+1。An所指子树中所有结点的关键字均大于Kn。
n为结点中关键字的个数，满足ceil(m/2)-1≤n≤m-1。
比如，一棵3阶B-树，m=3。它满足：
（1）每个结点的孩子个数小于等于3。
（2）除根结点外，其他结点至少有=2个孩子。
（3）根结点有两个孩子结点。
（4）除根结点外的所有结点的n大于等于=1，小于等于2。
1、B-树的查找
B-树的查找过程：根据给定值查找结点和在结点的关键字中进行查找交叉进行。首先从根结点开始重复如下过程：
若比结点的第一个关键字小，则查找在该结点第一个指针指向的结点进行；若等于结点中某个关键字，则查找成功；若在两个关键字之间，则查找在它们之间的指针指向的结点进行；若比该结点所有关键字大，则查找在该结点最后一个指针指向的结点进行；若查找已经到达某个叶结点，则说明给定值对应的数据记录不存在，查找失败。
2. B-树的插入
插入的过程分两步完成：
（1）利用前述的B-树的查找算法查找关键字的插入位置。若找到，则说明该关键字已经存在，直接返回。否则查找操作必失败于某个最低层的非终端结点上。
（2）判断该结点是否还有空位置。即判断该结点的关键字总数是否满足n<=m-1。若满足，则说明该结点还有空位置，直接把关键字k插入到该结点的合适位置上。若不满足，说明该结点己没有空位置，需要把结点分裂成两个。
分裂的方法是：生成一新结点。把原结点上的关键字和k按升序排序后，从中间位置把关键字（不包括中间位置的关键字）分成两部分。左部分所含关键字放在旧结点中，右部分所含关键字放在新结点中，中间位置的关键字连同新结点的存储位置插入到父结点中。如果父结点的关键字个数也超过（m-1），则要再分裂，再往上插。直至这个过程传到根结点为止
3、B-树的删除
在B-树上删除关键字k的过程分两步完成：
（1）利用前述的B-树的查找算法找出该关键字所在的结点。然后根据 k所在结点是否为叶子结点有不同的处理方法。
（2）若该结点为非叶结点，且被删关键字为该结点中第i个关键字key[i]，则可从指针son[i]所指的子树中找出最小关键字Y，代替key[i]的位置，然后在叶结点中删去Y。
因此，把在非叶结点删除关键字k的问题就变成了删除叶子结点中的关键字的问题了。
在B-树叶结点上删除一个关键字的方法是
首先将要删除的关键字 k直接从该叶子结点中删除。然后根据不同情况分别作相应的处理，共有三种可能情况：
（1）如果被删关键字所在结点的原关键字个数n>=ceil(m/2)，说明删去该关键字后该结点仍满足B-树的定义。这种情况最为简单，只需从该结点中直接删去关键字即可。
（2）如果被删关键字所在结点的关键字个数n等于ceil(m/2)-1，说明删去该关键字后该结点将不满足B-树的定义，需要调整。
调整过程为：如果其左右兄弟结点中有“多余”的关键字,即与该结点相邻的右（左）兄弟结点中的关键字数目大于ceil(m/2)-1。则可将右（左）兄弟结点中最小（大）关键字上移至双亲结点。而将双亲结点中小（大）于该上移关键字的关键字下移至被删关键字所在结点中。
（3）如果左右兄弟结点中没有“多余”的关键字，即与该结点相邻的右（左）兄弟结点中的关键字数目均等于ceil(m/2)-1。这种情况比较复杂。需把要删除关键字的结点与其左（或右）兄弟结点以及双亲结点中分割二者的关键字合并成一个结点,即在删除关键字后，该结点中剩余的关键字加指针，加上双亲结点中的关键字Ki一起，合并到Ai（是双亲结点指向该删除关键字结点的左（右）兄弟结点的指针）所指的兄弟结点中去。如果因此使双亲结点中关键字个数小于ceil(m/2)-1，则对此双亲结点做同样处理。以致于可能直到对根结点做这样的处理而使整个树减少一层。
总之，设所删关键字为非终端结点中的Ki，则可以指针Ai所指子树中的最小关键字Y代替Ki，然后在相应结点中删除Y。对任意关键字的删除都可以转化为对最下层关键字的删除。
如图示：
a、被删关键字Ki所在结点的关键字数目不小于ceil(m/2)，则只需从结点中删除Ki和相应指针Ai，树的其它部分不变。
b、被删关键字Ki所在结点的关键字数目等于ceil(m/2)-1，则需调整。调整过程如上面所述。
c、被删关键字Ki所在结点和其相邻兄弟结点中的的关键字数目均等于ceil(m/2)-1，假设该结点有右兄弟，且其右兄弟结点地址由其双亲结点指针Ai所指。则在删除关键字之后，它所在结点的剩余关键字和指针，加上双亲结点中的关键字Ki一起，合并到Ai所指兄弟结点中（若无右兄弟，则合并到左兄弟结点中）。如果因此使双亲结点中的关键字数目少于ceil(m/2)-1，则依次类推。
转载：点击打开链接
