和很多计算机系的同学们一样，我在大学二年级时也学了《数据结构》这门课。当时我的老师是一个中科大的博士，现在已经是教授了。他在课上曾经这样评价这门课：《数据结构》几乎是所有计算机课程的基础课，如果把这门课学好了，其他的专业课就不成问题了。还有，IT公司的面试经常涉及到数据结构的相关知识，该课程的重要性由此可见。但是当时年少无知根本没好好学习，等到笔试，面试时才幡然悔悟。下面的内排序算法可算是数据结构中的重要内容，程序代码全部用C++实现，已在visual C++6.0上运行过了。

一.插入排序（insert sorting）

最差情况下，直接插入排序的最大时间代价为θ(n²)，最小时间代价为θ(n)，平均时间代价为θ(n²)。

#include <iostream> using namespace std; /*交换函数，作用是交换数组中的两个元素的位置*/ void swap(int array[],int i,int j) { int tmp=array[i]; array[i]=array[j]; array[j]=tmp; } /*插入排序*/ void InsertSort(int array[],int n) { for(int i=1;i<n;i++) { for(int j=i;j>0;j–) { if(array[j]>array[j-1]) swap(array,j,j-1); else break; } } } int main() { int array[5]={3,1,2,5,4}; InsertSort(array,5); for(int i=0;i<5;i++) cout<<array[i]<<” “; cout<<endl; return 0; }   

二.冒泡排序（bubble sorting）

冒泡排序的最大时间代价，最小时间代价和平均时间代价均为θ(n²)。

#include <iostream> using namespace std; /*交换函数，作用是交换数组中的两个元素的位置*/ void swap(int array[],int i,int j) { int tmp=array[i]; array[i]=array[j]; array[j]=tmp; } /*冒泡排序*/ void BubbleSort(int array[],int n) { for(int i=0;i<n-1;i++) { for(int j=n-1;j>i;j–) { if(array[j]<array[j-1]) swap(array,j,j-1); } } } int main() { int array[5]={3,1,2,5,4}; BubbleSort(array,5); for(int i=0;i<5;i++) cout<<array[i]<<” “; cout<<endl; return 0; }   

三.选择排序（selection sorting）

 选择排序的最大时间代价，最小时间代价和平均时间代价均为θ(n²)。选择排序不依赖于原始数组的输入顺序。

#include <iostream> using namespace std; /*交换函数，作用是交换数组中的两个元素的位置*/ void swap(int array[],int i,int j) { int tmp=array[i]; array[i]=array[j]; array[j]=tmp; } /*选择排序*/ void SelectionSort(int array[],int n) { for(int i=0;i<n-1;i++) { int smallest=i; for(int j=i+1;j<n;j++) { if(array[smallest]>array[j]) smallest=j; } swap(array,i,smallest); } } int main() { int array[5]={3,1,2,5,4}; SelectionSort(array,5); for(int i=0;i<5;i++) cout<<array[i]<<” “; cout<<endl; return 0; }   

四.shell sorting

增量为2的shell排序的时间代价可以达到θ(n的3/2次方)，有的增量可以达到θ(n的7/6次方)，很接近θ(n)。

#include <iostream> using namespace std; /*交换函数，作用是交换数组中的两个元素的位置*/ void swap(int array[],int i,int j) { int tmp=array[i]; array[i]=array[j]; array[j]=tmp; } /*希尔排序*/ void ShellSort(int array[],int n) { for(int delta=n/2;delta>0;delta/=2) { for(int i=0;i<delta;i++) { for(int j=i+delta;j<n;j+=delta) { for(int k=j;k>0;k-=delta) { if(array[k]<array[k-1]) swap(array,k,k-1); } } } } } int main() { int array[8]={6,8,7,3,1,2,5,4}; ShellSort(array,8); for(int i=0;i<8;i++) cout<<array[i]<<” “; cout<<endl; return 0; }   

五.快速排序（quick sorting）

快速排序的最大时间代价为θ(n²)，最小时间代价为θ(n*logn)，平均时间代价为θ(n*logn)。注意：快速排序是一种不稳定的排序方式，其性能依赖于原始数组的有序程度，更进一步分析，就是依赖与轴值元素的选择。快排的比较次数远多于移动次数，所以主要考虑比较次数。
 快排中，每一次比较可以确定一个轴值元素的位置。若p[m,q,n]（q为轴值元素）。当然确定第一个轴值元素也是要比较（n-m-1）次。但第二个轴值元素，第三个轴值元素就要进行（q-m-1）和（n-q-1）次比较。如果q的值若为m或n，快速排序就退化成冒泡排序了，快排就没有什么优势了。

#include <iostream> using namespace std; /*交换函数，作用是交换数组中的两个元素的位置*/ void swap(int array[],int i,int j) { int tmp=array[i]; array[i]=array[j]; array[j]=tmp; } /*将轴值放到数组的适当的位置*/ int partition(int array[],int left,int right) { int mid=(left+right)/2; int tmp=array[mid]; swap(array,mid,right); int i=left; int j=right; while(1) { /*i指针向右移动，直到找到一个大于轴值的值*/ while(1) { /*如果i与j相遇则确定轴值位置，将其返回*/ if(i==j) { array[i]=tmp; return i; } if(array[i]>tmp) { array[j]=array[i]; j–; break; } i++; } /*j指针向左移动，直到找到一个小于轴值的值*/ while(1) { /*如果i与j相遇则确定轴值位置，将其返回*/ if(i==j) { array[j]=tmp; return j; } if(array[j]<tmp) { array[i]=array[j]; i++; break; } j–; } } } /*快速排序*/ void quickSort(int array[],int left,int right) { if(right<=left) return; int pivot=partition(array,left,right); quickSort(array,left,pivot-1); quickSort(array,pivot+1,right); } int main() { int array[8]={6,8,7,3,1,2,5,4}; quickSort(array,0,7); for(int i=0;i<8;i++) cout<<array[i]<<” “; cout<<endl; return 0; }  

六.归并排序（merge sorting）

归并排序的最大时间代价，最小时间代价和平均时间代价均为θ(n*logn)。归并排序不依赖于原始数组的有序程度。

#include <iostream> using namespace std; /*归并过程–将两个有序数组合并成一个有序数组*/ void merge(int array[],int tempArray[],int left,int right,int middle) { int index1=left; int index2=middle+1; for(int i=left;(index1<=middle)&&(index2<=right);i++) { if(array[index1]<array[index2]) tempArray[i]=array[index1++]; else tempArray[i]=array[index2++]; } while(index1<=middle) tempArray[i++]=array[index1++]; while(index2<=right) tempArray[i++]=array[index2++]; for(i=left;i<=right;i++) array[i]=tempArray[i]; } /*两路归并排序–array[]为待排数组，tempArray[]为临时数组，left和right分别是数组两端*/ void mergeSort(int array[],int tempArray[],int left,int right) { if(left<right) { int middle=(left+right)/2; mergeSort(array,tempArray,left,middle); mergeSort(array,tempArray,middle+1,right); merge(array,tempArray,left,right,middle); } } int main() { int array[8]={6,8,7,3,1,2,5,4}; int tempArray[8]; mergeSort(array,tempArray,0,7); for(int i=0;i<8;i++) cout<<array[i]<<” “; cout<<endl; return 0; }  

七.堆排序（heap sorting）

堆排序的最大时间代价，最小时间代价和平均时间代价均为θ(n*logn)。堆排序和归并排序一样，不依赖于原始数组的有序程度。

HeapSorting.cpp

#include <iostream> #include “MaxHeap.h” using namespace std; /*最大堆排序函数*/ void heapSort(int array[],int n) { MaxHeap max_heap=MaxHeap(array,n); /*删除堆的最大值（堆顶），即每次将最大值与数组的最后一个元素交换位置*/ for(int i=0;i<7;i++) max_heap.removeMax(); } int main() { int array[8]={4,3,7,1,2,8,5,6}; heapSort(array,8); for(int i=0;i<8;i++) cout<<array[i]<<” “; cout<<endl; return 0; }  

MaxHeap.h

#include <iostream> using namespace std; /*最大堆定义*/ class MaxHeap { private: int size; //最大堆的元素数目 int * array; //最大堆数组的首地址指针 public: MaxHeap(int array[],int n); //用已有数组初始化一个最大堆 void buildHeap(); //构建最大堆 void siftDown(int index); //向下筛选法 void swap(int index1,int index2); //交换位置为index1与index2的元素 void removeMax(); //删除堆顶的最大值–与数组最后一个元素交换位置并重新构建最大堆 int leftChild(int index); //返回左孩子的位置 int rightChild(int index); //返回右孩子的位置 };  

MaxHeap.cpp

#include <iostream> #include “MaxHeap.h” using namespace std; /*最大堆成员函数实现*/ MaxHeap::MaxHeap(int array[],int n) { this->array=array; size=n; buildHeap(); } void MaxHeap::buildHeap() { for(int i=size/2-1;i>=0;i–) siftDown(i); } void MaxHeap::siftDown(int index) { int max_index=leftChild(index); while(max_index<size) { if(max_index<size-1&&array[rightChild(index)]>array[max_index]) max_index++; if(array[index]>array[max_index]) break; swap(index,max_index); index=max_index; max_index=leftChild(index); } } void MaxHeap::swap(int index1,int index2) { int temp=array[index1]; array[index1]=array[index2]; array[index2]=temp; } void MaxHeap::removeMax() { swap(0,size-1); size–; siftDown(0); } int MaxHeap::leftChild(int index) { return index*2+1; } int MaxHeap::rightChild(int index) { return index*2+2; }  

八.基数排序（radix sorting）

基数排序的时间复杂度为O (nlog(r)m)，其中r为所采取的基数，而m为堆数，在某些时候，基数排序法的效率高于其它的比较性排序法。基数排序法是属于稳定性的排序。

#include <iostream> using namespace std; /*计算关键字位数的最大值*/ int KeySize(int array[],int size) { int key_size=1; for(int i=0;i<size;i++) { int temp=1; int n=10; while(array[i]/n>0) { temp++; n*=10; } key_size=(temp>key_size)?temp:key_size; } return key_size; } /*基数排序*/ void RadixSort(int array[],int size) { int bucket[10][10]={0};//定义基数桶 int order[10]={0};//保存每个基数桶之中的元素个数 int key_size=KeySize(array,size);//计算关键字位数的最大值 for(int n=1;key_size>0;n*=10,key_size–) { /*将待排序的元素按照关键值的大小依次放入基数桶之中*/ for(int i=0;i<size;i++) { int lsd=(array[i]/n)%10; bucket[lsd][order[lsd]]=array[i]; order[lsd]++; } /*将基数桶中的元素重新串接起来*/ int k=0; for(i=0;i<10;i++) { if(order[i]!=0) { for(int j=0;j<order[i];j++) { array[k]=bucket[i][j]; k++; } order[i]=0; } } } } int main() { int array[10]={73,22,93,43,55,14,28,65,39,81}; int size=sizeof(array)/sizeof(int); RadixSort(array,size); for(int i=0;i<size;i++) cout<<array[i]<<” “; cout<<endl; return 0; }   

     下面我们来讨论一下各种排序算法的稳定度，稳定排序算法会依照相等的关键（换言之就是值）维持纪录的相对次序。也就是一个排序算法是稳定的，就是当有两个有相等关键的纪录R和S，且在原本的串列中R出现在S之前，在排序过的串列中R也将会是在S之前。

　　一般的方法：插入、交换、选择、合并等等。交换排序包含冒泡排序（bubble sort）和快速排序（quicksort）。选择排序包含shaker排序和堆排序（heapsort）。

　　当相等的元素是无法分辨的，比如像是整数，稳定度并不是一个问题。然而，假设以下的数对将要以他们的第一个数字来排序。

　　(4, 1) (3, 1) (3, 7) (5, 6)

　　在这个状况下，有可能产生两种不同的结果，一个是依照相等的键值维持相对的次序，而另外一个则没有：

　　(3, 1) (3, 7) (4, 1) (5, 6) (维持次序)

　　(3, 7) (3, 1) (4, 1) (5, 6) (次序被改变)

　　不稳定排序算法可能会在相等的键值中改变纪录的相对次序，但是稳定排序算法从来不会如此。不稳定排序算法可以被特别地时作为稳定。作这件事情的一个方式是人工扩充键值的比较，如此在其他方面相同键值的两个物件间之比较，就会被决定使用在原先资料次序中的条目，当作一个同分决赛。然而，要记住这种次序通常牵涉到额外的空间负担。

稳定的排序算法：

      冒泡排序（bubble sort） — O(n2)

　　鸡尾酒排序 (Cocktail sort, 双向的冒泡排序) — O(n2)

　　插入排序 （insertion sort）— O(n2)

　　桶排序 （bucket sort）— O(n); 需要 O(k) 额外 记忆体

　　归并排序 （merge sort）— O(n log n); 需要 O(n) 额外记忆体

　　原地归并排序 — O(n2)

　　二叉树排序 （Binary tree sort） — O(n log n); 需要 O(n) 额外记忆体

　　基数排序 （radix sort）— O(n·k); 需要 O(n) 额外记忆体

不稳定的排序算法：

      选择排序 （selection sort）— O(n2)

　   希尔排序 （shell sort）— O(n log n) 如果使用最佳的现在版本

　　Comb sort — O(n log n)

　　堆排序 （heapsort）— O(n log n)

　　Smoothsort — O(n log n)

　　快速排序 （quicksort）— O(n log n) 期望时间, O(n2) 最坏情况; 对於大的、乱数串列一般相信是最快的已知排序

      一般来说：存在不相邻交换的排序算法是不稳定的，相邻交换的排序算法是稳定的；对于相邻交换的稳定排序算法，通过控制交换条件可以转换成不稳定排序算法；冒泡、插入、归并和基数排序是稳定的；选择、快速、希尔和堆排序是不稳定的。