c – 两个二项式系数的GCD,模数为10 ^ 9 7

2023年5月27日 308次阅读

给出0≤k≤n≤500000,0≤l≤m≤500000.

我需要计算GCD(C(n,k),C(m,l))模10 ^ 9 7.

我的尝试：

我考虑过使用fourmula的技巧：
C(n,k)= n *(n-1)* … *(n-k 1)/ k！

例如,假设l> = k：
GCD(C(n,k),C(m,l))=
= GCD(n *(n-1)* … *(n-k 1)/ k！,m *(m-1)* … *(m-l 1)/ l！)=
= GCD(n *(n-1)* … *(nk 1)*(k 1)* … * l / l！,m *(m-1)* … *(ml 1) / l！)=
= GCD(n *(n-1)* … *(nk 1)*(k 1)* … * l,m *(m-1)* … *(ml 1))/ l ！

反转l！用二进制求幂到10 ^ 9 5很好,但我不知道如何继续.

这(k 1)* … * l部分破坏了一切.如果在乘数之间存在交集,我可以找到一些好处
n *(n-1)* … *(n-k 1)和m *(m-1)* … *(m-l 1),
但如果没有,整个GCD必须包含在这个(k 1)* … * l部分中.

接下来是什么？使用原生GCD算法保留剩余乘数？
太长了因为需要计算它们的产物,所以上面的操作看起来毫无意义.

我是正确的吗？
是否有一些技巧可以解决这个问题？

最佳答案 有了juvian的建议,这很简单.我怎么没想出分解的想法！

我的C代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>

#define NMAX 500000
#define MOD 1000000007

using namespace std;


long long factorial(long long n)
{
    long long ans = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        ans = ans * i % MOD;
    return ans;
}

long long binPow(long long num, int p)
{
    if (p == 0)
        return 1;

    if (p % 2 == 1)
        return binPow(num, p - 1) * num % MOD;
    if (p % 2 == 0)
    {
        long long b = binPow(num, p / 2);
        return b * b % MOD;
    }
}

void primesFactorize(long long n, long long primes[])
{
    for (int d = 2; d * d <= n; d++)
        while(n % d == 0)
        {
            n /= d;
            primes[d]++;
        }
    if (n > 1) primes[n]++;
}

long long primes1[NMAX];
long long primes2[NMAX];

int main()
{
    long long n, k, m, l;

    cin >> k >> n >> l >> m;

    if (k > l)
    {
        swap(n, m);
        swap(k, l);
    }

    for (int i = n - k + 1; i <= n; i++)
        primesFactorize(i, primes1);

    for (int i = k + 1; i <= l; i++)
        primesFactorize(i, primes1);

    for (int i = m - l + 1; i <= m; i++)
        primesFactorize(i, primes2);

    for (int i = 2; i <= max(n, m); i++)
        primes1[i] = min(primes1[i], primes2[i]);

    long long ans = 1;
    for (int i = 2; i <= max(n, m); i++)
        for (int j = 1; j <= primes1[i]; j++)
            ans = ans * i % MOD;

    ans = ans * binPow(factorial(l), MOD - 2) % MOD;

    cout << ans << endl;
    return 0;
}
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