在傅里叶插值的背景下返回“传统”函数符号

2023年9月30日 169次阅读

在数值分析中,我们学生有义务在R中实现代码,给定函数f(x)找到其傅里叶插值tN(x)并计算插值误差

$||f(x)-t_{N}(x)||=\int_{0}^{2\pi}$$|f(x)-t_{N}(x)|^2$

或各种不同的$N $
我首先尝试根据这个公式计算d系数：

$d = \frac 1N  M  y$

M表示DFT矩阵,y表示一系列等距函数值

$y_j = f(x_j)$and 
$x_j = e^{\frac{2*pi*i}N*j}$
for $j = 1,..,N-1$.

我的目标是想出一个可以通过以下方式描述的总和：

$t_{N}(x) = \Sigma_{k=0}^{N-1} d_k * e^{i*k*x}$

以后可以更容易地将其整合到随后的附加符号中.

f <- function(x) 3/(6+4*cos(x)) #first function to compare with
g <- function(x) sin(32*x) #second one
xj <- function(x,n) 2*pi*x/n

M <- function(n){
   w = exp(-2*pi*1i/n)
   m = outer(0:(n-1),0:(n-1))
   return(w^m)
}

y <- function(n){
   f(xj(0:(n-1),n))
} 
transformFunction <- function(n, f){
   d = 1/n * t(M(n)) %*% f(xj(0:(n-1),n))
   script <- paste(d[1])
   for(i in 2:n)
   script <- paste0(script,paste0("+",d[i],"*exp(1i*x*",i,")"))
   #trans <- sum(d[1:n] * exp(1i*x*(0:(n-1))))
   return(script)
 }

最初,转换函数的主要目的是返回一个函数 – 或者更确切地说：一个数学表达式 – 然后可以使用它来声明我的傅里叶插值函数.问题是,基于我相当有限的知识,我无法集成仍然嵌套在其中的和的函数(这就是我在代码中注释相应行的原因).
出于绝对的绝望,我随后尝试以文本的形式粘贴每个加数,只是再次将它们作为表达式进行解析.
所以剩下的主要问题是：如何以允许我将它们用作函数然后集成它们的方式返回数学表达式？
我真的很抱歉任何误解或混淆,以及我看似业余的编码.
提前致谢！

最佳答案 R中的函数可以返回任何类,特别是类函数的对象.因此,你可以使trans成为x的函数并返回它.

由于积分函数需要矢量化函数,我们在输出之前使用Vectorize.

transformFunction <- function(n, f){
    d = 1/n * t(M(n)) %*% f(xj(0:(n-1),n))

    ## Output function
    trans <- function(x) sum(d[1:n] * exp(1i*x*(0:(n-1))))
    ## Vectorize output for the integrate function
    Vectorize(trans)
}

要集成,现在只需使用transformFunction的输出创建一个新变量：

myint <- transformFunction(n = 10,f = f)

测试:(集成只能处理实值函数)

integrate(function(x) Re(myint(x)),0,2)$value + 
    1i*integrate(function(x) Im(myint(x)),0,2)$value
# [1] 1.091337-0.271636i
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