Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

For example, given the following triangle

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

Note:
Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

题目解析：

方案一：

可以利用递归的方法，当递归到“叶节点”的时候，求和sum于res比较，给res赋最小值。

有个递归的总结：

一个递归中，什么时候用for(i=0…n)，什么时候直接选择或不选择递归，没有for循环？直到做了这道题才明白过来：当这一层有n个元素的时候才用for！对比从n个数中选择若干个等于指定和sum，对于每一个数据i，就可选可不选，然后递归index+1，即可。没有for循环。

所以这道题中肯定要加for循环，但又由于类似树的结构，比如3的子节点只能是6和5，所以也就两个选择，要么选左节点要么选右节点。去掉了for循环。

但是由于递归方案，对于大数据会超时，方法不是很好。

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
        if(triangle.size()==0)
            return 0;
        //初始化res的值
        res = 0;
        for(int i = 0;i < triangle.size();i++)
            res += triangle[i][0];
        findMin(triangle,0,0,0);
        return res;
    }
    void findMin(vector<vector<int> > &triangle,int index,int line,int sum){
        if(line >= triangle.size()){
            res = res < sum ? res : sum;
            return ;
        }
        sum += triangle[line][index];
        findMin(triangle,index,line+1,sum);
        sum -= triangle[line][index];
        if(line == 0)
            return;
        sum += triangle[line][index+1];
        findMin(triangle,index+1,line+1,sum);
    }
private:
    int res;
};

方案二：

我们可以利用“贪心”的思想。我们将和加到下一层，没一个元素都表示从根到叶节点的最小值。那么当i-1层已经表示了最小值，i+1层的当前值肯定要和两个父节点中的最小值相加才能得到最小值。最后便利最后一层选取最小值即可。

当然要注意边界问题，最做便和最右边的元素只有一个父节点。

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
        if(triangle.size()==0)
            return 0;
        //初始化res的值
        int n = triangle.size();
        for(int i = 1;i < n;i++){
            for(int j = 0;j < triangle[i].size();j++){
                if(j==0){
                    triangle[i][j] += triangle[i-1][j];
                }else if(j == triangle[i].size()-1)
                    triangle[i][j] += triangle[i-1][j-1];
                else{
                    int min = triangle[i-1][j] > triangle[i-1][j-1] ? triangle[i-1][j-1] : triangle[i-1][j];
                    triangle[i][j] += min;
                }
            }
        }
        int res = triangle[n-1][0];
        for(int i = 1;i < triangle[n-1].size();i++){
            res = res > triangle[n-1][i] ? triangle[n-1][i] : res;
        }
        return res;
    }
};

当然我这样改变了原始数据，可以另外设一个最下层的数组，来保存值：

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
        // Start typing your C/C++ solution below
        // DO NOT write int main() function
        if (triangle.size() == 0)
            return 0;
            
        vector<int> f(triangle[triangle.size()-1].size());
        
        f[0] = triangle[0][0];
        for(int i = 1; i < triangle.size(); i++)
            for(int j = triangle[i].size() - 1; j >= 0; j--)
                if (j == 0)
                    f[j] = f[j] + triangle[i][j];
                else if (j == triangle[i].size() - 1)
                    f[j] = f[j-1] + triangle[i][j];
                else
                    f[j] = min(f[j-1], f[j]) + triangle[i][j];
                    
        int ret = INT_MAX;
        for(int i = 0; i < f.size(); i++)
            ret = min(ret, f[i]);
            
        return ret;       
    }
};