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应用最优化技术解决实际工程问题称为工程优化技术。最优化方法是运筹学的一个重要组成部分，在自然科学、社会科学、生产实践、工程设计中有着重要的实用价值和参考意义。利用最优化技术，可以实现生产成本最小花、运行效率最大化、车辆路线最短化等等。本章主要介绍Matlab的优化工具箱在工程优化中的应用，主要内容包括：

• 工程优化问题概述
• 优化问题
• 最小二乘问题
• 方程求解问题

11.1 工程优化问题概述

在现代工程设计、经济管理和市场规划等领域，广泛地涉及到工程优化问题。对于工厂企业，如何在消耗总工时最小的情况下获取最大的产品数量？如何安排物流秩序，在满足最大效率的前提下，达到成本最低，运费最小？工程优化问题几乎涉及了社会生活的每一个领域。对于工程优化问题，利用最优化理论和方法进行求解，帮助决策者作出最优的决策，以最小的成本，获取最大的利润。
假设某种物资有个产地，个销地。第个产地的产量为 ；第j个销地的需求量为。考虑到实际情况，产量不小于销量，即满足，由产地前往销地的运输成本为，那么如何安排运输才能既满足各地的需求，同时使花费的运输成本最小？

对于这样一个工程优化问题，给出了实际问题的背景，利用最优化理论和方法来求解实际生产问题时，都需要将实际问题进行抽象化，并且加以简化，提取问题的核心，建立数学模型，此时需要决策者确定问题的决策变量、决策目标以及各个不同的约束条件，形成最优化数学模型；虽然实际问题进行了抽象简化，但有些时候建立的模型比较复杂，不利于数学手段的求解，还需要对数学模型进行变换，使之更加简洁，并且能够被求解；最后还要分析求解结果是否符合实际情况。下面将以这样的步骤分析运输问题：

（1）选取决策变量：以产地运往销地的货物数量为决策变量；

（2）确定决策目标：运输问题要求的运输成本最小，那么很明显，问题的决策目标为运输的总成本；

（3）确定约束条件：在约束条件中，首先必须保证运输货物能够满足各地的需求，既产地运往销地的总量为，得到各销地需求量的等式约束：。同时从第个产地运出的货物总数不能超过其产量，得到产量不等式约束：。另外决策变量自身取值范围的约束，即：。于是运输问题就可以转化为一个以下数学模型的最优化问题：




对该数学模型进行求解，就可以得到决策变量：从产地运往销地的货物数量。此时一方面，能够满足各地的需求，同时使总的运输成本最小。

通过上面简单的一个运输问题可以看出，工程优化问题存在于实际生活的每一个角落，因此掌握工程优化文件数学建模方法和求解，对于决策者将起到至关重要的作用。在实际问题中，不同问题所设计的数学模型不同，没有统一的方法来进行数学建模，但是对于建立好的数学模型，只有经过求解，得到求解结果后，应用于实际生活中，才能体现出求解结果的优劣程度。因此，本章不进行数学建模的相关介绍，这也不是本书的目的，而是以给定的数学模型，利用Matlab最优化工具箱对不同类型的数学模型进行求解。

11.2 优化问题

Matlab优化工具箱提供了大量的优化函数来求解不同类型的优化问题，包括线性规划问题、无约束优化问题、有约束优化问题、二次规划问题、最小最大化问题和多目标规划问题等。利用Matlab优化工具箱，可以非常便捷地进行优化问题求解。本节通过大量的实例演示正确使用Matlab优化工具箱来求解优化问题的方法。首先，介绍优化工具箱中常用函数共同的输入输出参数。在实例演示中，将不再对这些规定的参数进行解释。

对于一个实际问题，根据目标函数和约束条件的形式不同，把问题划分乘线性规划问题和非线性规划问题。对于非线性规划问题，考虑约束条件不同，又可以划分为有约束问题和无约束问题。考察下面的标准的优化问题形式：

―――――――――――①目标函数
―――――――――――②线性不等式约束
――――――――――③线性等式约束
―――――――――――④非线性不等式约束
―――――――――――⑤非线性等式约束
―――――――――――⑥变量上下限约束

在使用Matlab优化工具箱时，求解问题都必须转化成以上标准的优化问题形式。
①目标函数可以是线性，也可以是非线性，以m文件形式定义或者以inline函数定义，或者通过柄操作符@来进行调用。
②线性不等式约束对应于求解问题中线性的不等式约束， 对应于线性约束条件的系数矩阵， 对应于线性约束条件常数项向量。
③线性等式约束对应于求解问题中线性等式约束，对应于线性等式约束的系数矩阵，对应于等式约束常数项向量。
④非线性不等式约束和⑤非线性等式约束为求解问题中非线性约束条件，通常定义成m文件形式。
⑥变量上下限约束，,分别对应于决策变量的上下限，没有则为空集。
表11.1所示，为最优化工具箱共同输入变量的含义和数据格式定义。

同时Matlab优化工具箱提供了许多优化函数迭代过程显示，最大迭代次数设置等一系列的选型设置。通过optimset和optimget函数即可获得当前优化工具箱的默认属性设置。在进入优化函数介绍前，把这些属性设置进行简单地介绍，在后续实例中，不再对options选项进行说明。在命令窗口中输入：
>> optimset %获取Matlab优化工具箱所有的属性设置选项
就可以得到Matlab优化工具箱所有的属性设置选项，及相应的属性值和取值类型。或者在命令行窗口中输入：
>> optimset fmincon %获取fmincon优化函数当前的默认属性值
就可以得到fmincon优化函数当前的默认属性值。通过optimget命令可以获取优化函数的属性参数。
（1）Optimset函数
Optimset函数用来获取或者设置优化函数的属性选项结构体。其调用格式如下：

①options = optimset('param1',value1,'param2',value2,...)
②optimset
③options = optimset
④options = optimset(optimfun)
⑤options = optimset(oldopts,'param1',value1,...)
⑥options = optimset(oldopts,newopts)

第①条命令创建一个包含设定属性选项的空的options属性结构体；第②条命令没有任何输入参数和返回参数，得到优化工具箱属性选项结构体及属性值的可行值和取值类型；第③条命令返回属性选项结构体，其中属性值全为空集；第④条命令获取具体优化函数的默认属性选项结构体；第⑤条命令复制oldopts的所有属性选项，并且修改设定属性选型。第⑥条命令将newopts所有属性值覆盖oldopts对应的属性选项的属性值。如果想修改fmincon函数中属性选项Display为Iter，TolFun属性选项为1e-8。那么可以在Matlab命令窗口中输入：
>> oldopts=optimset('fmincon'); %获取fmincon函数的属性选项结构体
>> newopts=optimset(oldopts,'Display','iter','TolFun',1e-8); %设置属性结构体，并保存为newopts
>> optimget(newopts,'Display') %获取新结构体中Display的属性值
ans =
iter
同样可以使用以下的一些方法：
>> options=optimset('Display','iter','TolFun',1e-8);
（2）Optimget函数
optimget函数和optimset函数相对应，用来获取属性结构体中属性选项的属性值。其调用格式如下：

①val = optimget(options,'param')
②val = optimget(options,'param',default)

第①条命令获取options中给定属性选型的属性值；第②条命令获取options属性中给定属性选项的默认属性值。在Matlab命令窗口中输入：
>> options=optimset('fminbnd'); %获取fminbnd函数的属性结构体
>> val = optimget(options,'Display','iter') %获取fminbnd函数默认的Display属性值
val =
notify
>> options=optimset(options,'Display','iter'); %修改Display属性值为iter
>> val = optimget(options,'Display') %重新获取fminbnd函数的Display属性值
val =
iter
options属性结构体中共有51个属性选项，它们其中有些可适用于大中规模优化问题，有些仅适用于大规模求解问题，或者中规模求解问题。如果读者对这些属性选项感兴趣，可以查阅相关的帮助文档，在这里，表11.2仅列出在实际优化算法中使用较为频繁的一些属性选项。其他属性项在演示实例中出现时，作特别的说明和介绍。

表11.2 常用属性选项及属性描述

作者：德特数据
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