红黑树下——红黑树的实现

1. 实现红黑树的基本思想

实际上,红黑树是有固定的平衡过程的:遇到什么样的节点分布,我们就对应怎么去调整。只要按照这些固定的调整规则来操作,就能将一个非平衡的红黑树调整成平衡的。

首先,我们需要再来看一下红黑树的定义:

  • 根节点是黑色的;
  • 每个叶子节点都是黑色的空节点(NIL),也就是说,叶子节点不存储数据;
  • 任何相邻的节点都不能同时为红色,也就是说,红色节点是被黑色节点隔开的;
  • 每个节点,从该节点到达其可达叶子节点的所有路径,都包含相同数目的黑色节点。

在插入、删除节点的过程中,第三、四点要求可能会被破坏,所以“平衡调整”,实际上就是把被破坏的第三、四点恢复过来。

在调整过程中有两个非常重要的操作,左旋(rotate left)和右旋(rotate right),左旋其实就是围绕某个节点的左旋,而右旋就是围绕某个节点的右旋

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2. 插入操作的平衡调整

红黑树规定,插入的节点必须是红色的。而且,二叉查找树中新插入的节点都是放在叶子节点上。所以,插入操作的平衡调整,有这样两种特殊情况:

  • 如果插入节点的父节点是黑色的,那我们什么都不做,它仍然满足红黑树的定义。
  • 如果插入的节点是根节点,那我们直接改变它的颜色,把它变成黑色就可以了。

除此之外,其它情况都会违背红黑树的定义,于是我们就需要进行调整,调整的过程包含两种基本的操作:左右旋转和改变颜色

红黑树的平衡调整是一个迭代的过程,我们把正在处理的节点叫作关注节点,关注结点会随着迭代的进行而不断变化,最初的关注节点就是新插入的节点。

新节点插入后,如果红黑树的平衡被打破,那一般会有下面三种情况。我们只需要根据每种情况的特点,不停地调整,就可以让红黑树继续保持平衡。

为了简化描述,我们把父节点的兄弟节点叫作叔叔结点,父节点的父节点叫作祖父节点。

CASE 1 :如果关注节点是 a,它的叔叔结点 d 是红色,我们就依次执行下面的操作

  • 将关注节点 a 的父节点 b 、叔叔结点 d 的颜色都设置成黑色;
  • 将关注节点 a 的祖父节点 c 的颜色设置成红色;
  • 关注节点变成 a 的祖父节点 c;
  • 跳到 CASE 2 或者 CASE 3。

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CASE 2 :如果关注节点是 a,它的叔叔结点 d 是黑色,关注节点 a 是其父结点 b 的右子节点,我们就依次执行下面的操作

  • 关注节点变成 a 的父节点 b;
  • 围绕新的关注节点 b 左旋;
  • 跳到 CASE 3。

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CASE 3 :如果关注节点是 a,它的叔叔结点 d 是黑色,关注节点 a 是其父结点 b 的左子节点,我们就依次执行下面的操作

  • 围绕关注节点 a 的祖父节点 c 右旋;
  • 将关注节点 a 的父节点 b、兄弟节点 c 的颜色互换;
  • 调整结束。

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3. 删除操作的平衡调整

删除操作的平衡调整分为两步,第一步是针对删除节点初步调整。初步调整是保证整棵红黑树在一个节点删除之后,仍然满足第四条的定义。第二步是针对关注节点进行二次调整,让它满足红黑树的的第三条定义。

3.1. 针对删除节点初步调整

经过初步调整后,为了保证红黑树的第四条要求,有些节点会被标记为两种颜色,“红-黑” 或者 “黑-黑”,如果一个节点被标记为了 “黑-黑”,那在计算黑色节点个数的时候,要算成两个黑色节点。

下面,如果一个节点既可以是红色,也可以是黑色,我们用一半黑色一半红色来表示。如果一个节点是 “红-黑” 或者 “黑-黑”,我们用左上角的一个小黑点来表示。

CASE 1 :如果要删除的节点是 a,它只有一个子节点 b,我们就依次执行下面的操作

  • 删除节点 a,并且把节点 b 替换到节点 a 的位置,这一部分操作和普通的二叉查找树的删除操作一样;
  • 节点 a 只能是黑色,结点 b 也只能是红色,其它情况均不符合红黑树的定义。这种情况下,我们把节点 b 改成黑色;
  • 调整结束,不需要进行二次调整;

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CASE 2 :如果要删除的节点 a 有两个非空子节点,并且它的后继节点就是它的右子节点 c,我们就依次执行下面的操作

  • 如果节点 a 的后继节点就是右子节点 c,那右子节点 c 肯定没有左子树。我们把节点 a 删除,并且将节点 c 替换到节点 a 的位置,这一部分操作和普通的二叉查找树的操作无异;
  • 然后把节点 c 的颜色设置为和节点 a 相同的颜色;
  • 如果节点 c 是黑色,为了不违反红黑树的第四条定义,我们给节点 c 的右子节点 d 多加一个黑色,这时候节点 d 就成了 “红-黑” 或者 “黑-黑”;
  • 这时候,关注节点变成了节点 d,第二步的调整操作就会针对关注节点来做。

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CASE 3 :如果要删除的节点 a 有两个非空子节点,并且它的后继节点不是右子节点,我们就依次执行下面的操作

  • 找到后继节点 d,并将它删除,删除后继节点 d 的过程参照 CASE 1;
  • 将节点 a 替换成后继节点 d;
  • 把节点 d 的颜色设置成和节点 a 相同的颜色;
  • 如果节点 d 是黑色,为了不违反红黑树的第四条定义,我们给节点 d 的右子节点 c 多加一个黑色,这时候节点 c 就成了 “红-黑” 或者 “黑-黑”;
  • 这时候,关注节点变成了节点 c,第二步的调整操作就会针对关注节点来做。

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3.2. 针对关注节点进行二次调整

经过初步调整之后,关注节点变成了 “红-黑” 或者 “黑-黑” 节点,针对这个关注节点,我们再分四种情况来进行二次调整,二次调整是为了让红黑树中不存在相邻的红色节点。

CASE 1 :如果关注节点是 a,它的兄弟节点 c 是红色的,我们就依次执行下面的操作

  • 围绕关注节点 a 的父节点 b 左旋;
  • 关注节点 a 的父节点 b 和祖父节点 c 交换颜色;
  • 关注节点不变;
  • 继续从四种情况中选择合适的规则来调整。

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CASE 2 :如果关注节点是 a,它的兄弟节点 c 是黑色的,并且节点 c 的左右子节点 d、e 都是黑色的,我们就依次执行下面的操作

  • 将关注节点 a 的兄弟节点 c 的颜色变成红色;
  • 从关注节点 a 中去掉一个黑色,这个时候关注节点 a 就是单纯的红色或者黑色;
  • 给关注节点 a 的父节点 b 添加一个黑色,这个时候节点 b 就变成了 “红-黑” 或者 “黑-黑”;
  • 关注节点从 a 变成其父节点 b;
  • 继续从四种情况中选择合适的规则来调整。

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CASE 3 :如果关注节点是 a,它的兄弟节点 c 是黑色的, c 的左子节点 d 是红色,c 的右子节点 e 是黑色,我们就依次执行下面的操作

  • 围绕关注节点 a 的兄弟节点 c 右旋;
  • 节点 c 和节点 d 交换颜色;
  • 关注节点不变;
  • 跳到 CASE 4 继续调整。

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CASE 4 :如果关注节点是 a,它的兄弟节点 c 是黑色的,并且 c 的右子节点是红色的,我们就依次执行下面的操作

  • 围绕关注节点 a 的父节点 b 左旋;
  • 将关注节点 a 的兄弟节点 c 的颜色,和关注节点 a 的父节点 b 设置成相同的颜色;
  • 将关注节点 a 的父节点 b 的颜色设置成黑色;
  • 从关注节点 a 中去掉一个黑色,节点 a 就变成了单纯的红色或者黑色;
  • 将关注节点 a 的叔叔结点 e 设置成黑色;
  • 调整结束。

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4. 红黑树为什么要求叶子节点是黑色的空节点?

之所以有这么奇怪的要求,其实就是为了实现方便。只要满足这一条要求,那在任何时刻的平衡操作就都可以归结为上述的几种情况。

下面我们来看一个叶子节点如果不为黑色的情况。

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当插入一个红色节点时,红黑树的定义就被破坏了,而这个时候这种情况也不满足上述的三种情况。但如果我们加上黑色的空节点后,它就满足 CASE 2 了。另外,我们也可以对每种情况的条件进行修改,但那样的话规则就没有原来那么简洁了。

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另外,我们并不是给每个黑色的空的叶子节点都分配一块内存,而是共用一个就行,这样也不会导致存储空间的极大浪费。

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5. 小结

    • 红黑树的确非常复杂,但只要对照着上述这几种情况,按照固定操作实现即可,不要过分纠结于算法本身的正确性;
    • 找准关注节点,一切操作都是以关注节点来操作的;

    参考资料-极客时间专栏《数据结构与算法之美》

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        原文作者:算法小白
        原文地址: https://segmentfault.com/a/1190000017067265
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