问题：假设一个机器仅仅存储一个标号为ID的记录（ID小于10亿的整数），每个数据保存2个备份，这样就有2个机器存储了同样的数据。

提问1：某时间如果得到一个数据文件ID的列表，是否能够快速地找出这个表中仅仅出现一次的ID?

提问2：如果已经知道只有一台机器死机（即只有一个备份丢失）呢？如果有2台机器死机（设同一个数据的两个备份不会同时丢失）？

解提问1转换为有很多ID，其中只有一个ID出现次数小于2，其他正常ID出现次数等于2，如何找到这个次数为1的ID。

解法一   遍历计数 

思路：遍历ID列表，用一个数组记下每个ID出现的次数，遍历完毕后出现次数小于2的就是所需结果。

时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(N)。

缺点：当ID数量多达即G时，空间复杂度效率明显出现问题，能否减小空间复杂度，对于出现2次的ID可以删除，因为已经不符合条件。解法二就是这个思路。

解法二 遍历列表对于出现次数为2 的ID不存储，

利用hash表记下每一个ID的出现次数，遇见一个ID向hash表中增加一个元素，如果ID的出现次数为2，则将其从hash表中删除，最后剩下的就是所需ID。

算法空间复杂度为最好为O（1），最差仍为O(N)。

解法三  异或运算

试图进一步降低空间复杂度，若要继续降低空间复杂度就有摒弃遍历列表计数这种方法。将列表中的ID进行异或由于问题一中除所求ID外都出现2次，故对列表中的ID进行异或后得到的结果就是出现次数为1的ID。

缺点：上述针对只有一个ID出现次数为1的情况，出现多次则不可行。

解提问2  有2个ID（设为A,B ）仅仅出现一次，解法一二适用，但解法三所有ID的异或值为A⊕B，无法确定A，B的值。

书中分情况讨论

② A=B时，则A=B=（所有ID之和—所有正常工作机器ID之和）/2。

②若A!=B则A⊕B不为0，但异或值的某一位为1，那么A和B的相同位上也为1，将ID列表根据该位分为2组，一组该位为1，另一组该位为0，每一类中分别含有A和B，使用两个变量遍历列表时分别计算这两类ID的异或值，即可得到AB的值（因为对应组别中仅仅A或者B出现一次，其他ID 都出现2次）。

解法四  利用不变量

针对提问一   将所有ID求和与死机后的ID列表和相减即为死机机器所存ID

针对第二问   2个ID不同的情形

（1） 计算未丢失之前所有ID和，计算丢失ID之后的和

（2） 将上述2和相减得到A+B=P；

（3） 利用丢失前后的ID平方和之差与（2）联立求解AB

书中第二个方程利用丢失前后ID的乘积求得A*B的值，也提出乘积会导致溢出建议采用平方和。

扩展问题   3个备份的时候，可有和，平方和，三者乘积得到3个方程，N个时会没有足够的方程无法求解。

扑克牌问题 未抽取牌前的和减去抽取牌后的和即可。全部异或也可。

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