《编程之美》学而思 – 金刚坐飞机 问题2的解法

flyfish

非书上解法
问题是乘客做到自己位置的概率

假设有1个人，1个金刚 ，2个座位
金刚做到自己位置的概率是 1 / 2，因为2个座位任他选

假设有2个人，1个金刚， 3个座位
金刚做到自己位置的概率是 1 / 3 ,因为3个座位任他选

假设有3个人，1个金刚， 4个座位
金刚做到自己位置的概率是 1 / 4, 因为4个座位任他选

假设有n-1个人，1个金刚，n个座位
金刚做到自己位置的概率是 1 / n, 因为n个座位任他选

问题是乘客做到自己位置的概率，不是金刚做到自己的位置的概率

金刚一旦坐到了自己的位置，后面的人都是100%的坐到了自己的位置, 金刚坐下之后，人不能做到金刚身上
这是概率论中对立事件，事件A和事件B必有一个且仅有一个发生。，
对立事件概率之间的关系是：P(A) + P(B) = 1

用1减去金刚的概率就是后面的那一个人的概率

例如
1 – （1 / 2） = (1 / 2)
1 – （1 / 3） = (2 / 3)
1 – （1 / 4） = (3 / 4)

共n个座位 求第i乘客
分情况
n=2 答案就是 1/2
问题 n>2 时 是多少

最后一个人的时候，剩余一个空座位，和自己的座位，当这两个座位是否是一个的概率就是1 / 2，也就是n = i的时候，剩下一个空座位(i = n, 1 / 2)
这个就像倒推的金刚的概率，因为是前面的坐的位置 影响了当前人的概率

第i = （n – 1）的人，剩下2个空座位，这2个座位供自己挑选，再 加上自己正确位置1个座位 共3个座位，已经占了位置人概率是 1 / 3, 所以自己坐到自己的位置概率是2 / 3

第i = （n – 2）的人，剩下3个空座位 已经占了位置人概率是 1 / 4, 所以自己做到自己的位置概率是 3 / 4
第i = （n – 3）的人，剩下4个空座位 已经占了位置人概率是 1 / 5, 所以自己坐到自己的位置概率是 4 / 5
第i = （n – 4）的人，剩下5个空座位 已经占了位置人概率是 1 / 6, 所以自己坐到自己的位置概率是 5 / 6
第i = （n – 5）的人，剩下6个空座位 已经占了位置人概率是 1 / 7, 所以自己坐到自己的位置概率是 6 / 7

（n – i） = 2， 3个空座位，空的座位个数=（n – i + 1）
（n – i） = 3， 4个空座位，空的座位个数=（n – i + 1）
（n – i） = 4， 5个空座位，空的座位个数=（n – i + 1）
（n – i） = 5， 6个空座位，空的座位个数=（n – i + 1）
总座位比空多1个

所以答案 n>2 时 第i个乘客 概率是
空座位/总的座位
（n – i + 1） / (n – i + 2)