摘自编程之美

在计算机中，使用float或者double来存储小数是不能得到精确值的。如果你希望得到精确计算结果，最好是用分数形式来表示小数。有限小数或者无限循环小数都可以转化为分数。比如：

0.9=9/10

0.333（3）=1/3（括号中的数字表示是循环节）

当然一个小数可以用好几种分数形式来表示。如：0.333（3）=1/3=3/9

给定一个有限小数或者无限循环小数，你能否以分母最小的分数形式来返回这个小数呢？如果输入为循环小数，循环节用括号标记出来。下面是一些可能的输入数据，如0.3、0.30、0.3（000）、0.3333（3333）、……

分析与解法

拿到这样一个问题，我们往往会从最简单的情况入手，因为所有的小数都可以分解成一个整数和一个纯小数之和，不妨只考虑大于0，小于1的纯小数，而且暂时不考虑分子和分母的约分，先设法将其表示为分数形式，然后再进行约分。题目中输入的小数，要么为有限小数X=0.a1a2…an，要么为无限循环小数X=0.a1a2…an（b1b2…bm），X的表示式中的字母a1a2…an，b1b2…bm都是0~9的数字，括号部分（b1b2…bm）表示循环节，我们需要处理的就是以上两种情况。

对于有限小数X=0.a1a2…an来说，这个问题比较简单，X就等于（a1a2…an）/10^n。 

对于无限循环小数X=0.a1a2…an（b1b2…bm）来说，其复杂部分在于小数点后同时有非循环部分和循环部分，我们可以做如下的转换：

X=0.a1a2…an（b1b2…bm）

=>10^n*X=a1a2…an.（b1b2…bm）

=>10^n*X=a1a2…an+0.（b1b2…bm）

=>X=(a1a2…an+0.（b1b2…bm）)/10^n

对于整数部分a1a2…an，不需要做额外处理，只需要把小数部分转化为分数形式再加上这个整数即可。对于后面的无限循环部分，可以采用如下方式进行处理： 

令Y=0.b1b2…bm，那么

10^m*Y=b1b2…bm.（b1b2…bm）

=>10^m*Y=b1b2…bm+0.（b1b2…bm）

=>10^m*Y-Y=b1b2…bm

=>Y=b1b2…bm/（10^m-1）

将Y代入前面的X的等式可得：

X=(a1a2…an+Y)/10^n

=(a1a2…an+b1b2…bm/(10^m-1))/10^n

=((a1a2…an)*(10^m-1)+(b1b2…bm))/((10^m-1)*10^n)

至此，便可以得到任意一个有限小数或无限循环小数的分数表示，但是此时分母未必是最简的，接下来的任务就是让分母最小，即对分子和分母进行约分，这个相对比较简单。对于任意一个分数A/B，可以简化成（A/Gcd（A,B））/（B/Gcd（A,B）），其中Gcd函数为求A和B的最大公约数，这就涉及本书中的算法（2.7节“最大公约数问题”），其中有很巧妙的解法，请读者阅读具体的章节，这里就不再赘述。

综上所述，先求得小数的分数表示方式，再对其分子分母进行约分，便能够得到分母最小的分数表现形式。

例如，对于小数0.3（33），根据上述方法，可以转化为分数：

0.3（33）

=（3*（10^2-1）+33）/（（10^2-1）*10）

=（3*99+33）/990

=1/3

对于小数0.285714（285714），我们也可以算出：

0.285714（285714）

=（285714*（10^6-1）+285714）/（（10^6-1）*10^6）

=（285714*999999+285714）/999999000000

=285714/999999

=2/7