编程之美7：最大公约数

2023年10月17日 192次阅读 来源: 勇二郎 
1：辗转相除法
f(x,y) = f(y, x%y);

int gcd(int x, int y)
{
    return (!y) ? x : gcd(y, x % y);
}

2:对于大整数，取模运算非常昂贵。
f(x, y) = f(x-y, y);

BigInt gcd(BigInt x, BigInt y)
{
    if (x < y)
    {
        return gcd(y, x);
    }
    if (y == 0)
    {
        return x;
    }
    else
    {
        return gcd(x-y, y);
    }
}
缺点：减法的迭代次数太多

3:找规律
(1)：f(y,x) = k * f(y1,x1); 其中y = k*y1, x = k*x1;
(2)：f(x,y) = f(p*x1, y) = f(x1,y); 其中x=p*x1,假设p是素数，并且y%p!=0

取p = 2;
若x,y均为偶数，f(x,y) = 2*f(x/2,y/2) = 2* f(x>>1,y>>1)
若x为偶数，y为奇数， f(x,y)=f(x/2,y)=f(x>>1,y)
若x为奇数，y为偶数， f(x,y)=f(x,y/2) = f(x, y>>1)
若x,y均为奇数，f(x,y) = f(y, x-y)
那么在f(x,y)=f(y,x-y)之后，(x-y)是一个偶数，下一步一定会有除以2的操作
因此，最坏情况下时间复杂度O(log2为底(max(x,y)))。

巧妙的利用位移运算和减法运算，避开了大整数除法，提高了算法的效率。
BigInt gcd(BigInt x,BigInt y)
{
    if (x < y)
    {
        return gcd(y, x);
    }
    if (y == 0)
    {
        return x;
    }
    else
    {
        if (IsEven(x))
        {
            if (IsEven(y))
            {
                return (gcd(x >> 1, y >> 1) << 1);
            }
            else
            {
                return gcd(x >> 1, y);
            }
        }
        else
        {
            if (IsEven(y))
            {
                return gcd(x, y >> 1);
            }
            else
            {
                return gcd(y, x - y);
            }
        }
    }
}

原创：https://blog.csdn.net/ndzjx/article/details/84404545

    原文作者：勇二郎
    原文地址: https://blog.csdn.net/ndzjx/article/details/84404545
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