参考+理解
名称是：设计一组N个数，确定其中第k个最大值，这是一个选择问题，当然，解决这个问题的方法很多，本人在网上搜索了一番，查找到以下的方式，觉得很好，推荐给大家。
所谓“第（前）k大数问题”指的是在长度为n(n>=k)的乱序数组中S找出从大到小顺序的第（前）k个数的问题。（注意这组数中可能有重复值）
解法1：我们可以对这个乱序数组按照从大到小先行排序，然后取出前k大，总的时间复杂度为O(n*logn + k)。
解法2：利用选择排序或交互排序，K次选择后即可得到第k大的数。总的时间复杂度为O(n*k)。（思考：与解法1的时间复杂度比较，这取决于k和n的值，k值越大，n越小，这种方法越不适合；k越小，比如是说是1或2，就很适合，时间复杂度为线性）
解法3：利用快速排序的思想，时间复杂度近似为O(n)。
使用partition函数，将数组分为两组。partition函数是快速排序中用来把数组分成两部分的函数。
(1)分为两个组，sa和sb。
(2)若sa组的个数大于K，则继续在sa分组中找取最大的K个数字。
(3)若sa组中的数字小于K，其个数为T，则继续在sb中找取 K-T个数字。
具体代码实现：
#include <iostream>
using namespace std ;
const int N = 8 ;
const int K = 4 ;
int partition(int a[] ,int low , int high)
{
int i = low – 1 ;
int j = low;
while(j < high)
{
if(a[j] >= a[high])
{
swap( a[i+1] , a[j]) ;
i++ ;
}
j++ ;
}
//最后处理a[high]
swap(a[i+1] , a[high]) ;
return i + 1;
}
int findk(int a[] , int low , int high , int k)
{
if(low < high)
{
int q = partition(a , low , high) ;
int len = q – low + 1 ; //表示第几个位置
if(len == k)
return q ; //返回第k个位置
else if(len < k)
return findk(a , q + 1 , high , k – len) ;
else
return findk(a , low , q – 1, k ) ;
}
}
int main()
{
int a[N] = {5 ,2 ,66 ,23, 11 ,1 ,4 ,55} ;
findk(a , 0 , N – 1 , K) ;
for(int i = 0 ; i < K ; i++)
cout<<a[i]<<endl ;
system(“pause”) ;
return 0 ;
}
解法4：二分[Smin,Smax]查找结果X，统计X在数组中出现，且整个数组中比X大的数目为k-1的数即为第k大数。
时间复杂度平均情况为O(n*logn)，查找mid用logn；
首先查找 max和 min，然后计算出 mid = (max + min) / 2
该算法的实质是寻找最大的K个数中最小的一个。
#include <iostream>
using namespace std ;
const int N = 8 ;
const int K = 4 ;
/*
利用二分的方法求取TOP k问题。
首先查找 max和 min，然后计算出 mid = (max + min) / 2
该算法的实质是寻找最大的K个数中最小的一个。
*/
int find(int * a , int x) //查询出大于或者等于x的元素个数
{
int sum = 0 ;
for(int i = 0 ; i < N ; i++ )
{
if(a[i] >= x)
sum++ ;
}
return sum ;
}
int getK(int * a , int max , int min) //最终max min之间只会存在一个或者多个相同的数字
{
while(max – min > 1) //max – min的值应该保证比任意两个不相等的元素之差要小
{
int mid = (max + min) / 2 ;
int num = find(a , mid) ; //返回比mid大的数字个数
if(num >= K) //最大的k个数目都要比min值大
min = mid ;
else
max = mid ;
}
cout<<“end”<<endl;
return min ;
}
int main()
{
int a[N] = {54, 2 ,5 ,11 ,554 ,65 ,33 ,2} ;
int x = getK(a , 554 , 2) ;
cout<<x<<endl ;
getchar() ;
return 0 ;
}
解法5：用O(4*n)的方法对原数组建最大堆，然后pop出k次即可。时间复杂度为O(4*n + k*logn)（不理解）
解法6：维护一个k大小的最小堆，对于数组中的每一个元素判断与堆顶的大小，若堆顶较大，则不管，否则，弹出堆顶，将当前值插入到堆中。时间复杂度O(n * logk)
解法7：利用hash保存数组中元素Si出现的次数，利用计数排序的思想，线性从大到小扫描过程中，前面有k-1个数则为第k大数，平均情况下时间复杂度O(n)
附注：
1. STL中可以用nth_element求得类似的第n大的数（由谓词决定），使用的是解法3中的思想，还可以用partial_sort对区间进行部分排序，得到类似前k大的数（由谓词决定），它采用的是解法5的思想。
2. 求中位数实际上是第k大数的特例。
解法8：如果N个数都是正数，取值范围不太大，可以考虑用空间换时间。申请一个包括N中最大值的MAXN大小的数组count[MAXN]，count[i]表示整数i在所有整数中的个数。这样只要扫描一遍数组，就可以得到低K大的元素。
for(sumCount = 0, v = MAXN -1; v >=0; v–)
{
cumCount += count[v];
if(sumCount >= k)
break;
}
return v;
《编程之美》2.5节课后习题：
1. 如果需要找出N个数中最大的K个不同的浮点数呢？比如，含有10个浮点数的数组（1.5，1.5，2.5，3.5，3.5，5，0，– 1.5，3.5）中最大的3个不同的浮点数是（5，3.5，2.5）。
解答：上面的解法均适用，需要注意的是浮点数比较时和整数不同，另外求hashkey的方法也会略有不同。
2. 如果是找第k到第m（0<k<=m<=n)大的数呢？
解答：如果把问题看做m-k+1个第k大问题，则前面解法均适用。但是对于类似前k大这样的问题，最好使用解法5或者解法7，总体复杂度较低。
3. 在搜索引擎中，网络上的每个网页都有“权威性”权重，如page rank。如果我们需要寻找权重最大的K个网页，而网页的权重会不断地更新，那么算法要如何变动以达到快速更新（incremental update）并及时返回权重最大的K个网页？
提示：堆排序？当每一个网页权重更新的时候，更新堆。还有更好的方法吗？
解答：要达到快速的更新，我们可以解法5，使用映射二分堆，可以使更新的操作达到O(logn)（不理解），但是觉得可以使用小跟堆来解决。
4. 在实际应用中，还有一个“精确度”的问题。我们可能并不需要返回严格意义上的最大的K个元素，在边界位置允许出现一些误差。当用户输入一个query的时候，对于每一个文档d来说，它跟这个query之间都有一个相关性衡量权重f (query, d)。搜索引擎需要返回给用户的就是相关性权重最大的K个网页。如果每页10个网页，用户不会关心第1000页开外搜索结果的“精确度”，稍有误差是可以接受的。比如我们可以返回相关性第10 001大的网页，而不是第9999大的。在这种情况下，算法该如何改进才能更快更有效率呢？网页的数目可能大到一台机器无法容纳得下，这时怎么办呢？
提示：归并排序？如果每台机器都返回最相关的K个文档，那么所有机器上最相关K个文档的并集肯定包含全集中最相关的K个文档。由于边界情况并不需要非常精确，如果每台机器返回最好的K’个文档，那么K’应该如何取值，以达到我们返回最相关的90%*K个文档是完全精确的，或者最终返回的最相关的K个文档精确度超过90%（最相关的K个文档中90%以上在全集中相关性的确排在前K），或者最终返回的最相关的K个文档最差的相关性排序没有超出110%*K。
解答：正如提示中所说，可以让每台机器返回最相关的K’个文档，然后利用归并排序的思想，得到所有文档中最相关的K个。最好的情况是这K个文档在所有机器中平均分布，这时每台机器只要K’ = K / n （n为所有机器总数）；最坏情况，所有最相关的K个文档只出现在其中的某一台机器上，这时K’需近似等于K了。我觉得比较好的做法可以在每台机器上维护一个堆，然后对堆顶元素实行归并排序。怎么对堆顶进行归并排序呢？
5. 如第4点所说，对于每个文档d，相对于不同的关键字q1, q2, …, qm，分别有相关性权重f（d, q1），f（d, q2）, …, f（d, qm）。如果用户输入关键字qi之后，我们已经获得了最相关的K个文档，而已知关键字qj跟关键字qi相似，文档跟这两个关键字的权重大小比较靠近，那么关键字qi的最相关的K个文档，对寻找qj最相关的K个文档有没有帮助呢？
解答：肯定是有帮助的。在搜索关键字qj最相关的K个文档时，可以在qj的“近义词”相关文档中搜索部分，然后在全局的所有文档中在搜索部分。
