一，问题
上柜的《哈利波特》平装本系列，一共有五卷。假设每一卷单独销售均需8欧元。如果读者一次购买不同的两卷，就可以扣除5%的费用，三卷则更多。假设具体折扣的情况如下：
本数2 折扣 5%
本数3折扣 10%
本数4折扣 20%
本数 5 折扣25%
问题：设计出算法，能够计算出读者所购买的一批书的最低价格。
二，问题分析：
优化问题就用动态规划、贪心算法、分支限界轮番狂轰乱炸！！直到找到最优解！！
贪心策略
当书的数目N<5时，直接按照折扣购买
当书的数目N>5时，情况如下：
依此可以穷举出每一种组合的情况，对于任意一种情况(i,j,k,m,n)进行分析
先找出是所有书中5种不同的书，如果有则按照5本书折扣价购买
其次找出剩余书中所有4种书，如果有则按照4本书的折扣价购买
再找出剩余书中所有3种书，如果有则按照3本书的折扣价购买
最后在剩余书中找出所有2种书，如果有则按照2本书的折扣价购买
剩下的书则按照全价购买。
如果按照这种方法（贪心法）存在反例，比如买8本书时，可以拆成5+3，折扣为1.55；也可以拆成4+4，折扣为1.6 这种两种情况组合中都包括，通过选择一个折扣最低的可以排除掉第一种情况。
结论：贪心策略不可取
动态规划
要用动态规划解答首先要找到，动态规划的递归公式，因为动态规划是自顶向下层层递归，然后自底向下层层解答！最后根据底层结论求解最后结果。
五卷书的价格相同都是8欧元，所以购买（1，0，0，0，0）跟（0，1，0，0，0）效果一样。这里就可以简化为，让所购买书按照本书递增（递减），从而方便讨论。
要处理的参数为购买每种卷的个数，所以递归一定跟这五个参数相关。可以把参数按照从小到大顺序排列。讨论不为0的参数的个数，从而求出所有可能的折扣种类。然后从当前折扣种类中取价格最小值。
（X1,X2,X3,X4,X5）代表购买每卷的个数，F（X1，X2，X3，X4，X5）代表最低价格。X1 < X2 < X3 < X4 < X5
F（X1，X2，X3，X4，X5）=0 ；当所有参数都为0的情况（这也是退出递归的出口）
F（X1，X2，X3，X4，X5）= min{
5*8*(1-25%) +F（X1-1，X2-1，X3-1，X4-1，X5-1） //参数全部 > 0
4*8*(1-20%) +F（X1，X2-1，X3-1，X4-1，X5-1） //x2 > 0
3*8*(1-10%) +F（X1，X2，X3-1，X4-1，X5-1） //x3 > 0
2*8*(1-5%) +F（X1，X2，X3，X4-1，X5-1） //x4 > 0
8 +F（X1，X2，X3，X4，X5-1） //x5 > 0
}
三，动态规划源码：
源码：
#include <iostream> #include <cstdlib> #include <cstdio> using namespace std; const int larg = 100000;//定义一个最大值，相当于取最小值时忽略这个位置的值 template <typename T> void rerank(T m[],int length)//冒泡排序 { for (int i = length-1; i >0; i–) { for (int j = 0; j < i; j++) { if (m[j]>m[j +1]) { T temp; temp = m[j + 1]; m[j + 1] = m[j]; m[j] = temp; } } } } double Min(double a, double b, double c, double d, double e)//返回最小值 { double nn[5]={a,b,c,d,e}; rerank(nn,5); return nn[0]; } double find_BestSol(int x1, int x2, int x3, int x4, int x5)//动态规划（递归实现） { int n[5] ={ x1, x2, x3, x4, x5 }; rerank(n,5);//对n进行从小到大排序 x1 = n[0]; x2 = n[1]; x3 = n[2]; x4 = n[3]; x5 = n[4]; /* x1 < x2 < x3 < x4 < x5*/ if (n[0] > 0)//最小的都大于0；则所有卷数都大于0；然后将所有可能折扣罗列出来，返回最小值 { return Min(8.0 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4, x5 – 1), 2 * 8 * 0.95 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4 – 1, x5 – 1), 3 * 8 * 0.9 + find_BestSol(x1, x2, x3 – 1, x4 – 1, x5 – 1), 4 * 8 * 0.8 + find_BestSol(x1, x2 – 1, x3 – 1, x4 – 1, x5 – 1), 5 * 8 * 0.75 + find_BestSol(x1 – 1, x2 – 1, x3 – 1, x4 – 1, x5 – 1)); } else if ((n[0] == 0) && (n[1] > 0)) { return Min(8.0 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4, x5 – 1), 2 * 8 * 0.95 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4 – 1, x5 – 1), 3 * 8 * 0.9 + find_BestSol(x1, x2, x3 – 1, x4 – 1, x5 – 1), 4 * 8 * 0.8 + find_BestSol(x1, x2 – 1, x3 – 1, x4 – 1, x5 – 1), larg); } else if ((n[0] == 0) && (n[1] == 0) && (n[2] > 0)) { return Min(8.0 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4, x5 – 1), 2 * 8 * 0.95 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4 – 1, x5 – 1), 3 * 8 * 0.9 + find_BestSol(x1, x2, x3 – 1, x4 – 1, x5 – 1), larg, larg); } else if ((n[0] == 0) && (n[1] == 0) && (n[2] == 0) && (n[3] > 0)) { return Min(8.0 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4, x5 – 1), 2 * 8 * 0.95 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4 – 1, x5 – 1), larg, larg, larg); } else if ((n[0] == 0) && (n[1] == 0) && (n[2] == 0) && (n[3] == 0) && (n[4] > 0)) { return 8.0 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4, x5 – 1); } else//都为0 { return 0; } } int main() { //int n1[5] = {3,4,2,1,0}; int n1[5] = {2,2,2,1,1}; double solution = find_BestSol(n1[0],n1[1],n1[2],n1[3],n1[4]); cout<<“所花费的最少的钱为：”<<solution<<endl; }
