- 方法一：常规解法,先排序(时间复杂度为O(N*logN))
- 方法二：利用快速排序原理(时间复杂度O(N*logK)(掌握)
- 方法三：利用最小堆的原理(时间复杂度为O(N*logK))(掌握)
- 方法四：二分法(在实际应用中效果不佳)
- 方法五：用空间换取时间的方法
问题：查找大量无序元素中最大的K个数。
解法一：该解法是大部分能想到的，也是第一想到的方法。假设数据量不大，可以先用快速排序或堆排序，他们的平均时间复杂度为O(N*logN),然后取出前K个，时间复杂度为O(K)，总的时间复杂度为O(N*logN)+O(K).
当K=1时，上面的算法的时间复杂度也是O(N*logN)，上面的算法是把整个数组都进行了排序，而原题目只要求最大的K个数，并不需要前K个数有限，也不需要后N-K个数有序。可以通过部分排序算法如选择排序和交换排序，把N个数中的前K个数排序出来，复杂度为O(N*K),选择哪一个，取决于K的大小，在K(K<logN)较小的情况下，选择部分排序。
解法二：(掌握)避免对前K个数进行排序来获取更好的性能(利用快速排序的原理)。
假设N个数存储在数组S中，从数组中随机找一个元素X，将数组分成两部分Sa和Sb.Sa中的元素大于等于X,Sb中的元素小于X。
出现如下两种情况：
(1)若Sa组的个数大于或等于K，则继续在sa分组中找取最大的K个数字 。
(2)若Sa组中的数字小于K ，其个数为T，则继续在sb中找取 K-T个数字 。
一直这样递归下去，不断把问题分解成小问题，平均时间复杂度为O(N*logK)。
代码如下：
/*将数组a[s]...a[t]中的元素用一个元素划开，保存中a[k]中*/
void partition(int a[], int s,int t,int &k)
{
int i,j,x;
x=a[s]; //取划分元素
i=s; //扫描指针初值
j=t;
do
{
while((a[j]<x)&&i<j) j--; //从右向左扫描,如果是比划分元素小，则不动
if(i<j) a[i++]=a[j]; //大元素向左边移
while((a[i]>=x)&&i<j) i++; //从左向右扫描，如果是比划分元素大，则不动
if(i<j) a[j--]=a[i]; //小元素向右边移
}while(i<j); //直到指针i与j相等
a[i]=x; //划分元素就位
k=i;
}
/*查找数组前K个最大的元素，index:返回数组中最大元素中第K个元素的下标(从0开始编号),high为数组最大下标*/
int FindKMax(int a[],int low,int high,int k)
{
int q;
int index=-1;
if(low < high)
{
partition(a , low , high,q);
int len = q - low + 1; //表示第几个位置
if(len == k)
index=q; //返回第k个位置
else if(len < k)
index= FindKMax(a , q + 1 , high , k-len);
else
index=FindKMax(a , low , q - 1, k);
}
return index;
}
int main()
{
int a[]={20,100,4,2,87,9,8,5,46,26};
int Len=sizeof(a)/sizeof(int);
int K=4;
FindKMax(a , 0 , Len- 1 , K) ;
for(int i = 0 ; i < K ; i++)
cout<<a[i]<<" ";
return 0;
}
解法三:(掌握)用容量为K的最小堆来存储最大的K个数。最小堆的堆顶元素就是最大K个数中的最小的一个。每次扫描一个数据X，如果X比堆顶元素Y小，则不需要改变原来的堆。如果X比堆顶元素大，那么用X替换堆顶元素Y，在替换之后，X可能破坏了最小堆的结构，需要调整堆来维持堆的性质。调整过程时间复杂度为O(logK)。 全部的时间复杂度为O(N*logK)。
这种方法当数据量比较大的时候，比较方便。因为对所有的数据只会遍历一次，第一种方法则会多次遍历数组。 如果所查找的K的数量比较大。可以考虑先求出k` ，然后再求出看k`+1 到 2 * k`之间的数据，然后一次求取。
代码如下：
void heapifymin(int Array[],int i,int size)
{
if(i<size)
{
int left=2*i+1;
int right=2*i+2;
int smallest=i;//假设最小的节点为父结点
//确定三个结点中的最大结点
if(left<size)
{
if(Array[smallest]>Array[left])
smallest=left;
}
if(right<size)
{
if(Array[smallest]>Array[right])
smallest=right;
}
//开始交换父结点和最大的子结点
if(smallest!=i)
{
int temp=Array[smallest];
Array[smallest]=Array[i];
Array[i]=temp;
heapifymin(Array,smallest,size);//对调整的结点做同样的交换
}
}
}
//建堆过程，建立最小堆,从最后一个结点开始调整为最小堆
void min_heapify(int Array[],int size)
{
int i;
for(i=size-1;i>=0;i--)
heapifymin(Array,i,size);
}
//k为需要查找的最大元素个数，size为数组大小，kMax存储k个元素的最小堆
void FindMax(int Array[],int k,int size,int kMax[])
{
for(int i=0;i<k;i++)
kMax[i]=Array[i];
//对kMax中的元素建立最小堆
min_heapify(kMax,k);
printf("最小堆如下所示 : \n");
for(i=0;i<k;i++)
printf("%4d",kMax[i]);
printf("\n");
for(int j=k;j<size;j++)
{
if(Array[j]>kMax[0]) //如果最小堆的堆顶元素，替换
{
int temp=kMax[0];
kMax[0]=Array[j];
Array[j]=temp;
//可能破坏堆结构，调整kMax堆
min_heapify(kMax,k);
}
}
}
int main()
{
int a[]={10,23,8,2,52,35,7,1,12};
int length=sizeof(a)/sizeof(int);
//最大四个元素为23,52,35,12
/***************查找数组中前K个最大的元素****************/
int k=4;
int * kMax=(int *)malloc(k*sizeof(int));
FindMax(a,k,length,kMax);
printf("最大的%d个元素如下所示 : \n",k);
for(int i=0;i<k;i++)
printf("%4d",kMax[i]);
printf("\n");
return 0;
}
解法四：这也是寻找Ｎ个数中的第Ｋ大的数算法。利用二分的方法求取TOP k问题。 首先查找 max 和 min，然后计算出mid = (max + min) / 2该算法的实质是寻找最大的K个数中最小的一个。
const int N = 8 ;
const int K = 4 ;
/*
利用二分的方法求取TOP k问题。
首先查找 max 和 min，然后计算出 mid = (max + min) / 2
该算法的实质是寻找最大的K个数中最小的一个。
*/
int find(int * a , int x) //查询出大于或者等于x的元素个数
{
int sum = 0 ;
for(int i = 0 ; i < N ; i++ )
{
if(a[i] >= x)
sum++ ;
}
return sum ;
}
int getK(int * a , int max , int min) //最终max min之间只会存在一个或者多个相同的数字
{
while(max - min > 1) //max - min的值应该保证比两个最小的元素之差要小
{
int mid = (max + min) / 2 ;
int num = find(a , mid) ; //返回比mid大的数字个数
if(num >= K) //最大的k个数目都要比min值大
min = mid ;
else
max = mid ;
}
cout<<"end"<<endl;
return min ;
}
int main()
{
int a[N] = {54, 2 ,5 ,11 ,554 ,65 ,33 ,2} ;
int x = getK(a , 554 , 2) ;
cout<<x<<endl ;
getchar() ;
return 0 ;
}
该算法在实际应用中效果不佳。
解法五：如果N个数都是正数，取值范围不太大，可以考虑用空间换时间。申请一个包括N中最大值的MAXN大小的数组count[MAXN]，count[i]表示整数i在所有整数中的个数。这样只要扫描一遍数组，就可以得到第K大的元素。
代码如下：
for(sumCount = 0, v = MAXN -1; v >=0; v--)
{
cumCount += count[v];
if(sumCount >= k)
break;
}
return v;
扩展问题：
1.如果需要找出N个数中最大的K个不同的浮点数呢？比如，含有10个浮点数的数组（1.5，1.5，2.5，3.5，3.5，5，0，- 1.5，3.5）中最大的3个不同的浮点数是（5，3.5，2.5）。
解答：除了解法五不行，其他的都可以。因为最后一种需要是正数。
2. 如果是找第k到第m（0<k<=m<=n)大的数呢？
解答：可以用小根堆来先求出m个最大的，然后从中输出k到m个。
3. 在搜索引擎中，网络上的每个网页都有“权威性”权重，如page rank。如果我们需要寻找权重最大的K个网页，而网页的权重会不断地更新，那么算法要如何变动以达到快速更新（incremental update）并及时返回权重最大的K个网页？
解答：(解法三)用堆排序当每一个网页权重更新的时候，更新堆。
举一反三：查找最小的K个元素
解答：最直观的方法是用快速排序或堆排序先排好，在取前K小的数据。最好的办法是利用解法二和解法三的原理进行查找。
