题目：输入一个正整数数组，将它们连接起来排成一个数，输出能排出的所有数字中最小的一个。例如输入数组{32, 321}，则输出这两个能排成的最小数字32132。请给出解决问题的算法，并证明该算法。
分析：这是09年6月份百度新鲜出炉的一道面试题，从这道题我们可以看出百度对应聘者在算法方面有很高的要求。
这道题其实是希望我们能找到一个排序规则，根据这个规则排出来的数组能排成一个最小的数字。要确定排序规则，就得比较两个数字，也就是给出两个数字m和n，我们需要确定一个规则m和n哪个更大，而不是仅仅只是比较这两个数字的数值哪个更大。
根据题目的要求，两个数字m和n排成的数字mn和nm，如果mn<nm，那么我们应该输出mn，也就是m应该排在n的前面，也就是m小于n；反之，如果nm<mn，n小于m。如果mn==mn，m等于n。
接下来我们考虑怎么去拼接数字，即给出数字m和n，怎么得到数字mn和nm并比较它们的大小。直接用数值去计算不难办到，但需要考虑到的一个潜在问题是m和n都在int能表达的范围内，但把它们拼起来的数字mn和nm就不一定能用int表示了。所以我们需要解决大数问题。一个非常直观的方法就是把数字转换成字符串。
另外，由于把数字m和n拼接起来得到的mn和nm，它们所含有的数字的个数肯定是相同的。因此比较它们的大小只需要按照字符串大小的比较规则就可以了。
基于这个思路，我们可以写出下面的代码：
// Maxinum int number has 10 digits in decimal system
const int g_MaxNumberLength = 10;
// String buffers to combine two numbers
char* g_StrCombine1 = new char[g_MaxNumberLength * 2 + 1];
char* g_StrCombine2 = new char[g_MaxNumberLength * 2 + 1];
// Given an array, print the minimum number
// by combining all numbers in the array
void PrintMinNumber(int* numbers, int length)
{
if(numbers == NULL || length <= 0)
return;
// Convert all numbers as strings
char** strNumbers = (char**)(new int[length]);
for(int i = 0; i < length; ++i)
{
strNumbers[i] = new char[g_MaxNumberLength + 1];
sprintf(strNumbers[i], “%d”, numbers[i]);
}
// Sort all strings according to algorithm in function compare
qsort(strNumbers, length, sizeof(char*), compare);
for(int i = 0; i < length; ++i)
printf(“%s”, strNumbers[i]);
printf(“\n”);
for(int i = 0; i < length; ++i)
delete[] strNumbers[i];
delete[] strNumbers;
}
// Compare two numbers in strNumber1 and strNumber2
// if [strNumber1][strNumber2] > [strNumber2][strNumber1],
// return value > 0
// if [strNumber1][strNumber2] = [strNumber2][strNumber1],
// return value = 0
// if [strNumber1][strNumber2] < [strNumber2][strNumber1],
// return value < 0
int compare(const void* strNumber1, const void* strNumber2)
{
// [strNumber1][strNumber2]
strcpy(g_StrCombine1, *(const char**)strNumber1);
strcat(g_StrCombine1, *(const char**)strNumber2);
// [strNumber2][strNumber1]
strcpy(g_StrCombine2, *(const char**)strNumber2);
strcat(g_StrCombine2, *(const char**)strNumber1);
return strcmp(g_StrCombine1, g_StrCombine2);
}
上述代码中，我们在函数compare中定义比较规则，并根据该规则用库函数qsort排序。最后把排好序的数组输出，就得到了根据数组排成的最小的数字。
找到一个算法解决这个问题，不是一件容易的事情。但更困难的是我们需要证明这个算法是正确的。接下来我们来试着证明。
首先我们需要证明之前定义的比较两个数字大小的规则是有效的。一个有效的比较需要三个条件：1.自反性，即a等于a；2.对称性，即如果a大于b，则b小于a；3.传递性，即如果a小于b，b小于c，则a小于c。现在分别予以证明。
1.
自反性。显然有
aa=aa
，所以
a=a
。
2. 对称性。如果a小于b，则ab<ba，所以ba>ab。因此b大于a。
3. 传递性。如果a小于b，则ab<ba。当a和b用十进制表示的时候分别为l位和m位时，ab=a×10m+b，ba=b×10l+a。所以a×10m+b<b×10l+a。于是有a×10m-a< b×10l –b，即a(10m -1)<b(10l -1)。所以a/(10l -1)<b/(10m -1)。
如果b小于c，则bc<cb。当c表示成十进制时为m位。和前面证明过程一样，可以得到b/(10m -1)<c/(10n -1)。
所以a/(10l -1)< c/(10n -1)。于是a(10n -1)<c(10l -1)，所以a×10n +c<c×10l +a，即ac<ca。
所以a小于c。
在证明了我们排序规则的有效性之后，我们接着证明算法的正确性。我们用反证法来证明。
我们把n个数按照前面的排序规则排好顺序之后，表示为A1A2A3…An。我们假设这样排出来的两个数并不是最小的。即至少存在两个x和y（0<x<y<n），交换第x个数和地y个数后，A1A2…Ay…Ax…An<A1A2…Ax…Ay…An。
由于A1A2…Ax…Ay…An是按照前面的规则排好的序列，所以有Ax<Ax+1<Ax+2<…<Ay-2<Ay-1<Ay。
由于Ay-1小于Ay，所以Ay-1Ay<AyAy-1。我们在序列A1A2…Ax…Ay-1Ay…An交换Ay-1和Ay，有A1A2…Ax…Ay-1Ay…An<A1A2…Ax…AyAy-1…An（这个实际上也需要证明。感兴趣的读者可以自己试着证明）。我们就这样一直把Ay和前面的数字交换，直到和Ax交换为止。于是就有A1A2…Ax…Ay-1Ay…An<A1A2…Ax…AyAy-1…An< A1A2…Ax…AyAy-2Ay-1…An<…< A1A2…AyAx…Ay-2Ay-1…An。
同理由于Ax小于Ax+1，所以AxAx+1<Ax+1Ax。我们在序列A1A2…AyAxAx+1…Ay-2Ay-1…An仅仅只交换Ax和Ax+1，有A1A2…AyAxAx+1…Ay-2Ay-1…An<A1A2…AyAx+1Ax…Ay-2Ay-1…An。我们接下来一直拿Ax和它后面的数字交换，直到和Ay-1交换为止。于是就有A1A2…AyAxAx+1…Ay-2Ay-1…An<A1A2…AyAx+1Ax…Ay-2Ay-1…An<…< A1A2…AyAx+1Ax+2…Ay-2Ay-1Ax…An。
所以A1A2…Ax…Ay…An< A1A2…Ay…Ax…An。这和我们的假设的A1A2…Ay…Ax…An <A1A2…Ax…Ay…An相矛盾。
所以假设不成立，我们的算法是正确的。
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