题目：用递归颠倒一个栈。例如输入栈{1, 2, 3, 4, 5}，1在栈顶。颠倒之后的栈为{5, 4, 3, 2, 1}，5处在栈顶。

分析：乍一看到这道题目，第一反应是把栈里的所有元素逐一pop出来，放到一个数组里，然后在数组里颠倒所有元素，最后把数组中的所有元素逐一push进入栈。这时栈也就颠倒过来了。颠倒一个数组是一件很容易的事情。不过这种思路需要显示分配一个长度为O(n)的数组，而且也没有充分利用递归的特性。

我们再来考虑怎么递归。我们把栈{1, 2, 3, 4, 5}看成由两部分组成：栈顶元素1和剩下的部分{2, 3, 4, 5}。如果我们能把{2, 3, 4, 5}颠倒过来，变成{5, 4, 3, 2}，然后在把原来的栈顶元素1放到底部，那么就整个栈就颠倒过来了，变成{5, 4, 3, 2, 1}。

接下来我们需要考虑两件事情：一是如何把{2, 3, 4, 5}颠倒过来变成{5, 4, 3, 2}。我们只要把{2, 3, 4, 5}看成由两部分组成：栈顶元素2和剩下的部分{3, 4, 5}。我们只要把{3, 4, 5}先颠倒过来变成{5, 4, 3}，然后再把之前的栈顶元素2放到最底部，也就变成了{5, 4, 3, 2}。

至于怎么把{3, 4, 5}颠倒过来……很多读者可能都想到这就是递归。也就是每一次试图颠倒一个栈的时候，现在栈顶元素pop出来，再颠倒剩下的元素组成的栈，最后把之前的栈顶元素放到剩下元素组成的栈的底部。递归结束的条件是剩下的栈已经空了。这种思路的代码如下：

// Reverse a stack recursively in three steps:

// 1. Pop the top element

// 2. Reverse the remaining stack

// 3. Add the top element to the bottom of the remaining stack

template<typename T> void ReverseStack(std::stack<T>& stack)

{

    if(!stack.empty())

    {

        T top = stack.top();

        stack.pop();

        ReverseStack(stack);

        AddToStackBottom(stack, top);

    }

}

我们需要考虑的另外一件事情是如何把一个元素e放到一个栈的底部，也就是如何实现AddToStackBottom。这件事情不难，只需要把栈里原有的元素逐一pop出来。当栈为空的时候，push元素e进栈，此时它就位于栈的底部了。然后再把栈里原有的元素按照pop相反的顺序逐一push进栈。

注意到我们在push元素e之前，我们已经把栈里原有的所有元素都pop出来了，我们需要把它们保存起来，以便之后能把他们再push回去。我们当然可以开辟一个数组来做，但这没有必要。由于我们可以用递归来做这件事情，而递归本身就是一个栈结构。我们可以用递归的栈来保存这些元素。

基于如上分析，我们可以写出AddToStackBottom的代码：

// Add an element to the bottom of a stack:

template<typename T> void AddToStackBottom(std::stack<T>& stack, T t)

{

    if(stack.empty())

    {

        stack.push(t);

    }

    else

    {

        T top = stack.top();

        stack.pop();

        AddToStackBottom(stack, t);

        stack.push(top);

    }

}

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