红黑树相关定理及其证明

红黑树有一条性质要求:如果一个节点为红色的,则它的两个子节点都是黑色。这保证了:从根到叶节点(不包括根节点)的任何一条路径上都至少有一半的节点是黑色的。(红黑树的性质还要求:对每一个节点,从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上,均包含相同数目的黑色节点)。

0. 明确一些基本概念

  • 树的深度和高度:
    • 树的深度是从根节点开始(其深度为1)自顶向下逐层累加的,而高度是从叶节点开始(其高度为1)自底向上逐层累加的。

1. 证明:一棵有 n 个内部节点的红黑树的高度至多为 2lg(n+1)

  • 该定理表明了内部节点与树高之间的关系;
  • 也即,在红黑树中,内部节点的数量实现了对红黑树高度的约束,使之尽可能的平衡。

首先证明,任意节点 x 为根的子树(递归定义)中至少( )包含 2bh(x)1 个内部节点( n2bh(x)1 )。欲证明这点,采用归纳法。

  • x 的高度为 0,即 x 为叶节点 ( T.nil ,只有叶节点的高度为 0),则以 x 为根节点的子树至少包含 2bh(x)1=201=0 个内部节点。
  • 考虑 x 的高度为正值,且有两个子节点的内部节点 x ,则其每个子节点有黑高 bh(x) bh(x)1 (取决于自身的颜色是红 bh(x) ,还是黑 bh(x)1 ),则根据归纳法的假设,每个子节点至少有 2bh(x)11 个内部节点( 2bh(x)1 2bh(x)11 ),
    • 于是,它们的父节点以 x 为根的子树至少包含: (2bh(x)11)+(2bh(x)11)+1=2bh(x)1 (左侧的+1,加的是 x ,根节点也属于内部节点)

还需引入输的高度 h ,由红黑树的性质:如果一个节点为红色,则它的两个字节点都是黑色,可知,从根到叶节点(不包括根节点)的任何一条简单路径都至少有一半的节点为黑色,也即黑高至少是树的半。

n2bh(x)1n2bh(x)12h/21n2h/21h2log(n+1)

2. 最长路径至多是最短路径的两倍

在一棵红黑树中,从某节点 x 到其后代叶节点的全部简单路径中,最长的一条至多是最短一条的 2 倍。

  • 设最长的路径为 (a1,a2,,as)
    • 由红黑树的性质:如果一个节点是红色节点,则其两个子节点为黑色节点,⇒ 这条简单路径上至少一半的节点为黑色;
      • 则红色节点的数量: s12 ,因此黑色节点的数量至少为: s+12
  • 设最短的路径为 (b1,b2,,bt)

又由红黑树的任何一条简单路径的黑高相同,因此, ts+12 。然后通过反证法进行证明, s>2t 所以有:

ts+122t+12=t+1

出现矛盾。

3. 内部节点最多,内部节点最少

如果一棵红黑树的黑高为 k ,则其内部节点最多为,做少为:

  • 内部节点最多时的情形为:任何一个简单路径上,黑红黑红黑宏,的循环排列,
    • 此时红色节点数目达到最大,树高也达到最大,最大为: 2k+1 ,此时内部节点为: 22k+11
  • 内部节点最少时的情形为:全部均是黑色节点的完全二叉树;
    • 此时红色节点数目为 0,树高达到最低,为: k+1
    • 内部节点数量为: 2k+11
    原文作者:算法小白
    原文地址: https://blog.csdn.net/lanchunhui/article/details/75905478
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