My code:

public class Solution {
    public int numDistinct(String s, String t) {
        if (s == null || t == null) {
            return 0;
        }
        else if (s.length() == 0) {
            return 0;
        }
        else if (t.length() == 0) {
            return s.length();
        }
        
        int m = s.length();
        int n = t.length();
        int[][] dp = new int[m][n];
        int counter = 0;
        char target = t.charAt(0);
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            char curr = s.charAt(i);
            if (curr == target) {
                counter++;
            }
            
            dp[i][0] = counter;
        }
        
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                if (s.charAt(i) == t.charAt(j)) {
                    dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1];
                }
            }
        }
        
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}

真的没想到这道题目我可以自己做出来。。。还是很兴奋的。

iteration DP
dp[i][j] 表示， s[0, i] 与 t[0, j] 的 distinct subsequences
那么递推式是什么呢？
假设给了我们这两个string
s[0, i] 与 t[0, j]

那么，

dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (t[j] == s[i]) {
    dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1];
}

即， dp[i][j] 至少等于 dp[i – 1][j]
如果 s[i] == t[j]
那么，还要看 s[0, i – 1] 与 t[0, j – 1] 的匹配状态，
即， dp[i][j] += dp[i – 1][j – 1]

这么一看，思路好像很简单。
这就是DP吧。其实我一开始思路也没有直接就这么简洁。
提交了几次，失败后，再看代码逻辑，逐渐改出来的。

初始状态是什么？
dp[i][0], 看 s[0, i] 里面有多少个字母 == t[0]
dp[0][j] = 0, j > 0

差不多就这样了吧。

然后我发现DP做到现在大致分为四类题目。

第一种的典型题目是
burst ballon
给你一个数组，你需要 divide and conquer, 将数组整体劈成两个独立的个体，分别计算，再统计结果。中间加上cache以加快速度。
from top to bottom
也可以用iteration DP来做，但很难想到。

edit distance
两个string，完全可以用 dp[][] 来解决。这道题目也是这个类型。
不是劈开。而是从无到有，从底到顶
from bottom to top

house robbing, best time to buy and sell stock with cooldown
状态机, state machine. 画出 状态机，然后照着写出dp递归式，就差不多了。

perfect square, climbing stair, Integer Break
这些都是生成一个数组， nums[n]
然后， nums[i] 与 nums[0, i – 1] 有关。
比如， perfect square, nums[i] 可能 =
nums[1] + nums[i – 1]
nums[2] + nums[i – 2]
nums[3] + nums[i – 3]
…

然后采用某种策略，省去一些多余的例子。
Integer break 也是如此。

这只是我的一种感觉，理论上肯定有很多不足。但对解决DP题目还是会有一定帮助的。就像看到时间要求如果有含 log n 项， 那么，就一定存在 binary search 这样的东西。

Anyway, Good luck, Richardo! — 08/27/2016