这是悦乐书的第229次更新，第241篇原创

01 看题和准备

今天介绍的是LeetCode算法题中Easy级别的第96题（顺位题号是441）。您想要以楼梯形状形成总共n个硬币，其中每个第k行必须具有恰好k个硬币。给定n，找到可以形成的完整楼梯行的总数。n是一个非负整数，适合32位有符号整数的范围。例如：
n = 5
硬币可以形成以下行：
¤
¤¤
¤¤
因为第3行不完整，我们返回2。

n = 8
硬币可以形成以下行：
¤
¤¤
¤¤¤
¤¤
因为第4行不完整，我们返回3。

本次解题使用的开发工具是eclipse，jdk使用的版本是1.8，环境是win7 64位系统，使用Java语言编写和测试。

02 第一种解法

因为每一行所表示的硬币需要和行号相等，因此我们可以直接对n从1开始做减法。使用一个变量从1开始做自加，n每次减去该变量，直到n不大于0，最后判断n是否等于0，等于0就返回该变量，否则返回该变量减1。

public int arrangeCoins(int n) {
    int i = 0;
    while (n > 0) {
        i++;
        n -= i;
    }
    return n == 0 ? i : i-1 ;   
}

03 第二种解法

利用二分法和等差数列的特性。每行楼梯对应的硬币数，可以构成一个公差为1的等差数列，前n行楼梯总共需要（1+n）*n/2个硬币，我们可以使用二分法，不断取中间值，获取对应的硬币数，然后和n做比较，如果等于，直接返回当前中间数，如果小于，低位变成中间位加1，如果大于，高位变成中间位减1，最后返回高位。

在计算等差数列前n个数之和时，使用long类型，以免溢出。

public int arrangeCoins2(int n) {
    int low = 0, high = n;
    while (low <= high) {
        int mid = low + (high - low)/2;
        long sum = (1L+mid)*mid/2;
        if (sum == n) {
            return mid;
        } else if (sum < n) {
            low = mid+1;
        } else {
            high = mid-1;
        }
    }
    return high;
}

04 第三种解法

还是利用等差数列的求和公式x=（1+n）×n/2，可以反向推导求n的值。

2x = （1+n）*n;

n^2 + n – 2x = 0;

此时就变成解一元二次方程的根了，2a分之负b加减根号下b的平方减4乘以a乘以c，因为n大于0，所以只用求正根即可。

n = (-1 + Math.sqrt(1-4×(-2x)))/2;

n = (-1 + Math.sqrt(1+8x))/2;

其中，我们需要注意数据类型的隐式转换，Math.sqrt返回的double类型的数据，因此8最好是double或者long类型的。

public int arrangeCoins3(int n) {
    return (int)((-1 + Math.sqrt(1 + 8.0*n)) / 2);
}

05 小结

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