这是悦乐书的第190次更新，第193篇原创

01 看题和准备

今天介绍的是LeetCode算法题中Easy级别的第49题（顺位题号是204）。计算小于非负数n的素数的数量。例如：

输入：10
输出：4
说明：有4个素数小于10，它们是2,3,5,7。

本次解题使用的开发工具是eclipse，jdk使用的版本是1.8，环境是win7 64位系统，使用Java语言编写和测试。

02 第一种解法

判断一个数n是否为素数，就需要判断1到n-1之间的数能否被n整除，能够被整除说明不是素数，否则就是素数。

public int countPrimes(int n) {
    if (n <= 2) {
        return 0; 
    }
    int count = 0;
    for (int i=2;i<n; i++) {
        boolean flag = true;
        for (int j=2; j<i; j++) {
            if (i%j == 0) {
                flag = false;
            }
        }
        if (flag) {
            count++;
        }
    }
    return count;
}

但是此解法的时间复杂度太高了，是O(n^2)，那就需要再优化下。

03 第二种解法

如果n可以被某个数p整除，则n = p×q，并且由于p≤q，我们可以推导出p小于等于根号n。对正整数n，如果用2到根号n之间的所有整数去除，均无法整除，则n为质数。对于根号的处理，我们将内部循环换成指针的平方。

public int countPrimes2(int n) {
   int count = 0;
   for (int i = 1; i < n; i++) {
      if (isPrime(i)) count++;
   }
   return count;
}

private boolean isPrime(int num) {
   if (num <= 1) return false;
   for (int i = 2; i * i <= num; i++) {
      if (num % i == 0) return false;
   }
   return true;
}

04 第三种解法

一个素数的倍数都不是素数。 比如2，依次往上乘，4,6,8等等，他们都不是质数，再比如3，也可以依次往上乘，得到的结果也不是质数。

我们从2开始遍历到根号n，先找到第一个质数2，然后将其所有的倍数全部标记出来，然后到下一个质数3，标记其所有倍数，一次类推，直到根号n，此时数组中未被标记的数字就是质数。对此我们需要使用一个长度为n的布尔类型数组，来存储那些被标记的非质数。外层循环和内层循环都是遍历到根号n即可。

public int countPrimes3(int n) {
    boolean[] isPrime = new boolean[n];
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        isPrime[i] = true;
    }
    for (int i = 2; i * i < n; i++) {
        if (!isPrime[i])
            continue;
        for (int j = i * i; j < n; j += i) {
            isPrime[j] = false;
        }
    }
    int count = 0;
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        if (isPrime[i])
            count++;
    }
    return count;
}

此解法的空间复杂度是O(n)，时间复杂度是O(nlog(log n))。

05 小结

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