背景
了解KMP算法的直接看证明。
字符串s,模式字符串p,想要在s中找到第一个子串等于p
穷举解法:
p的开头跟s的开头比较,相等就一个个往下对比,遇到出错的就p往后移动一位,即p的开头和s的第二个字符开始比。一次类推直到找到。
KMP:
假设某次匹配中失败的位置在p中是j,用S(i,j)表示S从i到j的子串,则对p有这样的性质:p(0,k-1) = p(j-k,j-1), 0 <= k < j。语言描述为:在j的前面紧贴着一段k长度的子串,跟p开头的长度为k子串是一样的。
比如 abcabd, j为5时,即d的位置,它前面的ab和开头的ab相等,所以j为2。如果存在多种这样的情况,k取最大的,比如aaacaaab,对最后的b而言,1、2、3都是成立的,取3。如果不存在这样的,则k=0。而k==j的时候,等式两边是同一个子串,没有比较的意义了。
对模式串里每一个j都有这样的k,使用next[j]来表示。
假设失败位置在s中是i,在p中是j,KMP算法的优化就在于,失败了之后,下一次的比较,s从i开始,p从next[j]开始。
举例:
frabcabxabcabd 字符串s
abcabd 模式串p
在x-d
位置失败了,如果是穷举法,下一步是:
frabcabxabcabd 字符串s
abcabd 模式串p
p后移了一位,然后从头开始比。而KMP算法是:
frabcabxabcabd 字符串s
abcabd 模式串p
失败位置在s中是x
,在p中是d
,索引为5,上面分析过了d
的next[5]=2。所以p从p[2]即c
的位置开始比,s保留上次失败的位置,也就是x
,所以就成了现在的样子。
这样一下子就跳过很多位,优化点就在这里。
证明
看了很多网上的证明,它们的关注点都错了,它们证明的是什么呢?
x a1 a2 y b
x a1 a2 x c
失败点是最后的b-c
,然后c前面的x
和开头的x
是相同的,这个x
就是next[j]的那一段,KMP下次比较调整后为:
x a1 a2 y b
x a1 a2 x c
KMP算法是直接从b
和a1
的比较开始,而需要比较y
和x
了。这些文章的证明点就是x
和y
是相等的,因为失败点是b-c
,这时就说明了x
和y
是相等的了,这一点很容易看出来。
但问题是为什么可以直接跳过这么多位置呢?为什么移动一个位置来比较就一定会失败呢?这个才是这个算法最需要证明的地方吧。就这个例子里,为什么x不用和a1比?为什么不用和a2比呢?
示例说明:
对p有p1 p2 p3 p4 px py...
,然后在px失败了,这就意味着它之前p1-p4都是匹配到的,那假设S中对应的字符为:p1 p2 p3 p4 s1 s2...
,移动一位后:
p1 p2 p3 p4 s1 s2...
p1 p2 p3 p4 px py...
假如这个时候匹配成功,那么就有p2 p3 p4
= p1 p2 p3
,根据前面对next值的定义,这时对px
它的next值就是3;
再往后移一位:
p1 p2 p3 p4 s1 s2...
p1 p2 p3 p4 px py...
如果这时匹配成功,那么p3 p4
=p1 p2
,那px
的next值就是2。而如果我们已经知道了px
的next值为1,就可以判断出这两种情况是不可能匹配成功的。
即匹配失败后,每往后移动一步如果成功,都有一个对应的next值,而且这个next值是严格递减的,所以知道实际的next值之后,更大的next就必定是不可能的,那么之前的移动也就是不可能匹配成功的。
更小的有没有可能? 有,因为next值是满足条件里最大的那个,所以更小值它是可能满足条件的。但那就是下一次匹配之后的问题了,现在只是剔除掉一些绝对不可能的情况。