一、红黑树简介

R-B Tree，全称是Red-Black Tree，又称为“红黑树”，它一种特殊的二叉查找树。红黑树的每个节点上都有存储位表示节点的颜色，可以是红(Red)或黑(Black)。

红黑树的特性

（1）每个节点或者是黑色，或者是红色。

（2）根节点是黑色。

（3）每个叶子节点（NIL）是黑色。（注意：这里叶子节点，是指为空(NIL或NULL)的叶子节点！）

（4）如果一个节点是红色的，则它的子节点必须是黑色的。

（5）对每个节点，从该节点到其所有后代叶子节点的简单路径上，均包含相同数目的的黑色节点。

注意：

(01) 特性(3)中的叶子节点，是只为空(NIL或null)的节点。

(02) 特性(5)，确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍。因而，红黑树是相对是接近平衡的二叉树。

红黑树的示意图

二、红黑树的应用

用来存储有序的数据，它的时间复杂度是O(lgn)，效率非常之高。如Java集合中的TreeSet和TreeMap以及Linux虚拟内存的管理，都是通过红黑树去实现的。

三、红黑树的基本操作

操作一：左旋和右旋

红黑树的基本操作是添加、删除。在对红黑树进行添加或删除之后，都会用到旋转方法。为什么呢？道理很简单，添加或删除红黑树中的节点之后，红黑树就发生了变化，可能不满足红黑树的5条性质，也就不再是一颗红黑树了，而是一颗普通的树。而通过旋转，可以使这颗树重新成为红黑树。简单点说，旋转的目的是让树保持红黑树的特性。旋转包括两种：左旋 和 右旋。

1. 左旋

2.右旋

3.左旋和右旋的区别

仔细观察上面”左旋”和”右旋”的示意图。发现它们是对称的。无论是左旋还是右旋，被旋转的树，在旋转前是二叉查找树，并且旋转之后仍然是一颗二叉查找树。

左旋：对x进行左旋，意味着，将“x的右孩子”设为“x的父亲节点”；即，将 x变成了一个左节点(x成了为z的左孩子)！。 因此，左旋中的“左”，意味着“被旋转的节点将变成一个左节点”。如下图：

右旋：对x进行右旋，意味着，将“x的左孩子”设为“x的父亲节点”；即，将 x变成了一个右节点(x成了为y的右孩子)！ 因此，右旋中的“右”，意味着“被旋转的节点将变成一个右节点”。如下图：

操作二：添加

将一个节点插入到红黑树中，需要执行哪些步骤？

（1）首先，将红黑树当作一颗二叉查找树，将节点插入；

（2）然后，将节点着色为红色；

（3）最后，通过旋转和重新着色等方法来修正该树，使之重新成为一颗红黑树。

详细描述如下：

第一步: 将红黑树当作一颗二叉查找树，将节点插入。

红黑树本身就是一颗二叉查找树，将节点插入后，该树仍然是一颗二叉查找树。也就意味着，树的键值仍然是有序的。此外，无论是左旋还是右旋，若旋转之前这棵树是二叉查找树，旋转之后它一定还是二叉查找树。这也就意味着，任何的旋转和重新着色操作，都不会改变它仍然是一颗二叉查找树的事实。

第二步：将插入的节点着色为”红色”。

为什么着色成红色，而不是黑色？温习一下红黑树的特性：

（1）每个节点或者是黑色，或者是红色。

（2）根节点是黑色。

（3）每个叶子节点（NIL）是黑色。（注意：这里叶子节点，是指为空(NIL或NULL)的叶子节点！）

（4）如果一个节点是红色的，则它的子节点必须是黑色的。

（5）对每个节点，从该节点到其所有后代叶子节点的简单路径上，均包含相同数目的的黑色节点。

将插入的节点着色为红色，不会违背”特性(5)”！少违背一条特性，就意味着我们需要处理的情况越少。

第三步: 通过一系列的旋转或着色等操作，使之重新成为一颗红黑树。

第二步中，将插入节点着色为”红色”之后，不会违背”特性(5)”。那它到底会违背哪些特性呢？

1. 对于”特性(1)”，显然不会违背了。因为我们已经将它涂成红色了。
2. 对于”特性(2)”，显然也不会违背。在第一步中，我们是将红黑树当作二叉查找树，然后执行的插入操作。而根据二叉查找数的特点，插入操作不会改变根节点。所以，根节点仍然是黑色。
3. 对于”特性(3)”，显然不会违背了。这里的叶子节点是指的空叶子节点，插入非空节点并不会对它们造成影响。
4. 对于”特性(4)”，是有可能违背的！

那接下来，想办法使之”满足特性(4)”，就可以将树重新构造成红黑树了。

根据被插入节点的父节点的情况，可以将”当前节点被着色为红色节点，并插入二叉树”划分为三种情况来处理。

① 情况说明：被插入的节点是根节点。

   处理方法：直接把此节点涂为黑色。

② 情况说明：被插入的节点的父节点是黑色。

   处理方法：什么也不需要做。节点被插入后，仍然是红黑树。

③ 情况说明：被插入的节点的父节点是红色。

   处理方法：那么，该情况与红黑树的“特性(5)”相冲突。这种情况下，被插入节点是一定存在非空祖父节点的；进一步的讲，被插入节点也一定存在叔叔节点(即使叔叔节点为空，我们也视之为存在，空节点本身就是黑色节点)。理解这点之后，我们依据”叔叔节点的情况”，将这种情况进一步划分为3种情况(Case)。

上面三种情况(case)处理问题的核心思路都是：将红色的节点移到根节点；然后，将根节点设为黑色。

下面对它们详细进行介绍。

case 1：叔叔是红色

现象说明

当前节点(即，被插入节点)的父节点是红色，且当前节点的祖父节点的另一个子节点（叔叔节点）也是红色。

处理策略

(01) 将“父节点”设为黑色。

(02) 将“叔叔节点”设为黑色。

(03) 将“祖父节点”设为“红色”。

(04) 将“祖父节点”设为“当前节点”(红色节点)；即，之后继续对“当前节点”进行操作。

为什么要这样处理？

“当前节点”和“父节点”都是红色，违背“特性(4)”。所以，将“父节点”设置“黑色”以解决这个问题。

    但是，将“父节点”由“红色”变成“黑色”之后，违背了“特性(5)”：因为，包含“父节点”的分支的黑色节点的总数增加了1。解决这个问题的办法是：将“祖父节点”由“黑色”变成红色，同时，将“叔叔节点”由“红色”变成“黑色”。关于这里，说明几点：第一，为什么“祖父节点”之前是黑色？这个应该很容易想明白，因为在变换操作之前，该树是红黑树，“父节点”是红色，那么“祖父节点”一定是黑色。 第二，为什么将“祖父节点”由“黑色”变成红色，同时，将“叔叔节点”由“红色”变成“黑色”；能解决“包含‘父节点’的分支的黑色节点的总数增加了1”的问题。这个道理也很简单。“包含‘父节点’的分支的黑色节点的总数增加了1” 同时也意味着 “包含‘祖父节点’的分支的黑色节点的总数增加了1”，既然这样，我们通过将“祖父节点”由“黑色”变成“红色”以解决“包含‘祖父节点’的分支的黑色节点的总数增加了1”的问题； 但是，这样处理之后又会引起另一个问题“包含‘叔叔’节点的分支的黑色节点的总数减少了1”，现在我们已知“叔叔节点”是“红色”，将“叔叔节点”设为“黑色”就能解决这个问题。 所以，将“祖父节点”由“黑色”变成红色，同时，将“叔叔节点”由“红色”变成“黑色”；就解决了该问题。

    按照上面的步骤处理之后：当前节点、父节点、叔叔节点之间都不会违背红黑树特性，但祖父节点却不一定。若此时，祖父节点是根节点，直接将祖父节点设为“黑色”，那就完全解决这个问题了；若祖父节点不是根节点，那我们需要将“祖父节点”设为“新的当前节点”，接着对“新的当前节点”进行分析。

示意图

当插入“节点4”时的示意图如下：

上图进行case 1处理之后，再将节点”7″当作当前节点，就变成了case 2的情况。

case 2：叔叔是黑色，且当前节点是右孩子

现象说明

当前节点(即，被插入节点)的父节点是红色，叔叔节点是黑色，且当前节点是其父节点的右孩子。

处理策略

(01) 将“父节点”作为“新的当前节点”。

(02) 以“新的当前节点”为支点进行左旋。

为什么要这样处理？

首先，将“父节点”作为“新的当前节点”；接着，以“新的当前节点”为支点进行左旋。 为了便于理解，我们先说明第(02)步，再说明第(01)步；为了便于说明，我们设置“父节点”的代号为F(Father)，“当前节点”的代号为S(Son)。

为什么要“以F为支点进行左旋”呢？根据已知条件可知：S是F的右孩子。而之前我们说过，我们处理红黑树的核心思想：将红色的节点移到根节点；然后，将根节点设为黑色。既然是“将红色的节点移到根节点”，那就是说要不断的将破坏红黑树特性的红色节点上移(即向根方向移动)。 而S又是一个右孩子，因此，我们可以通过“左旋”来将S上移！

按照上面的步骤（以F为支点进行左旋）处理之后：若S变成了根节点，那么直接将其设为“黑色”，就完全解决问题了；若S不是根节点，那我们需要执行步骤(01)，即“将F设为‘新的当前节点’”。那为什么不继续以S为新的当前节点继续处理，而需要以F为新的当前节点来进行处理呢？这是因为“左旋”之后，F变成了S的“子节点”，即S变成了F的父节点；而我们处理问题的时候，需要从下至上(由叶到根)方向进行处理；也就是说，必须先解决“孩子”的问题，再解决“父亲”的问题；所以，我们执行步骤(01)：将“父节点”作为“新的当前节点”。

示意图

经过上述case 1的处理之后，现在把节点”7″当作当前节点。

上图进行case 2处理之后，再将节点”2″当作当前节点，就变成了case 3的情况。

case 3：叔叔是黑色，且当前节点是左孩子

现象说明

当前节点(即，被插入节点)的父节点是红色，叔叔节点是黑色，且当前节点是其父节点的左孩子。

处理策略

(01) 将“父节点”设为“黑色”。

(02) 将“祖父节点”设为“红色”。

(03) 以“祖父节点”为支点进行右旋。

为什么要这样处理？

为了便于说明，我们设置“当前节点”为S(Son)，“兄弟节点”为B(Brother)，“叔叔节点”为U(Uncle)，“父节点”为F(Father)，祖父节点为G(Grand-Father)。

S和F都是红色，违背了红黑树的“特性(4)”，我们可以将F由“红色”变为“黑色”，就解决了“违背‘特性(4)’”的问题；但却引起了其它问题：违背特性(5)，因为将F由红色改为黑色之后，所有经过F的分支的黑色节点的个数增加了1。那我们如何解决“所有经过F的分支的黑色节点的个数增加了1”的问题呢？ 我们可以通过“将G由黑色变成红色”，同时“以G为支点进行右旋”来解决。

示意图

经过上述case 2的处理之后，现在把节点”2″当作当前节点：

上图进行case 3处理之后得到的树，它是一棵合法的红黑树。

操作三：删除

将红黑树内的某一个节点删除。需要执行的操作？

（1）将红黑树当作一颗二叉查找树，将该节点从二叉查找树中删除；

（2）通过”旋转和重新着色”等一系列来修正该树，使之重新成为一棵红黑树。

详细描述如下：

第一步: 将红黑树当作一棵二叉查找树（二叉排序树），将节点删除。

这和”删除常规二叉查找树中删除节点的方法是一样的”。分3种情况：

① 被删除节点没有儿子，即为叶节点。那么，直接将该节点删除。

② 被删除节点只有一个儿子。那么，直接删除该节点，并用该节点的唯一子节点顶替它的位置。

③ 被删除节点有两个儿子。那么，先找出它的中序遍历顺序的后继节点；然后把“它的后继节点的内容”复制给“该节点的内容”；之后，删除“它的后继节点”。在这里，后继节点相当于替身，在将后继节点的内容复制给”被删除节点”之后，再将后继节点当做当前要被删除的节点，递归上述操作。而按照中序遍历顺序来看，后继节点不可能是双子非空的情况，因此其实只要考虑①和②两种情况即可。可以看一下这个例子：

假设现在要删除该二叉查找树中的11号节点，11号有两个儿子，符合情况③，找出11的后继节点是14，将14号节点信息复制给11，然后考虑当前待删除的14号节点，14号节点只有一个儿子，符合情况② ，那么删除14号节点，并用它儿子15号替代它，所以最后结果如下：

第二步：通过”旋转和重新着色”等一系列来修正该树，使之重新成为一棵红黑树。

因为”第一步”中删除节点之后，可能会违背红黑树的特性。所以需要通过”旋转和重新着色”来修正该树，使之重新成为一棵红黑树。

下面对删除函数进行分析。在分析之前，我们再次温习一下红黑树的几个特性：

（1）每个节点或者是黑色，或者是红色。

（2）根节点是黑色。

（3）每个叶子节点（NIL）是黑色。（注意：这里叶子节点，是指为空(NIL或NULL)的叶子节点！）

（4）如果一个节点是红色的，则它的子节点必须是黑色的。

（5）对每个节点，从该节点到其所有后代叶子节点的简单路径上，均包含相同数目的的黑色节点。

通过上述第一步删除节点后，原红黑树的性质可能被改变，如果删除的是红色节点，那么原红黑树的性质依旧保持，此时不用做修正操作，如果删除的节点是黑色节点，原红黑树的性质可能会被改变，我们要对其做修正操作。

那么当删除黑色节点时，会违背哪些性质？如果删除节点不是树唯一节点，那么删除节点的那一个支的到各叶节点的黑色节点数会发生变化，此时性质5被破坏。如果被删节点的唯一非空子节点是红色，而被删节点的父节点也是红色，那么性质4被破坏。如果被删节点是根节点，而它的唯一非空子节点是红色，则删除后新根节点将变成红色，违背性质2。综上，会违背特性(2)、(4)、(5)。

下面我们用一个分析技巧：我们从被删节点后来顶替它的那个节点开始调整，并认为它有额外的一个黑色，意思是说，假设被删节点是y（黑色），那么删除后代替它的节点x有两种颜色（原来的颜色+黑色，即“红+黑”或“黑+黑”），这样做的好处在于保证不会违背特性（5）：删除y(y是黑色)，意味着减少一个黑色节点；那么，再在该位置上增加一个黑色即可。

现在，我们面临的问题，由解决”违反了特性(2)、(4)、(5)三个特性”转换成了”解决违反特性(1)、(2)、(4)三个特性”。调整的思路是：将x所包含的额外的黑色不断沿树上移(向根方向移动)，直到出现下面的姿态：

a) x指向一个”红+黑”节点。此时，将x设为一个”黑”节点即可。

b) x指向根。此时，将x设为一个”黑”节点即可。

c) 非前面两种姿态。

将上面的姿态，可以概括为3种情况。

① 情况说明：x是“红+黑”节点。

   处理方法：直接把x设为黑色，结束。此时红黑树性质全部恢复。

② 情况说明：x是“黑+黑”节点，且x是根。

   处理方法：什么都不做，结束。此时红黑树性质全部恢复。

③ 情况说明：x是“黑+黑”节点，且x不是根。

   处理方法：这种情况又可以划分为4种子情况。这4种子情况如下表所示：

Case 1：x是”黑+黑”节点，x的兄弟节点是红色

现象说明

x是”黑+黑”节点，x的兄弟节点是红色。(此时x的父节点和x的兄弟节点的子节点都是黑节点)。

处理策略

(01) 将x的兄弟节点设为“黑色”。

(02) 将x的父节点设为“红色”。

(03) 对x的父节点进行左旋。

(04) 左旋后，重新设置x的兄弟节点为新的当前x。

为什么要这样处理？

这样做的目的是将“Case 1”转换为“Case 2”、“Case 3”或“Case 4”，从而进行进一步的处理。对x的父节点进行左旋；左旋后，为了保持红黑树特性，就需要在左旋前“将x的兄弟节点设为黑色”，同时“将x的父节点设为红色”；左旋后，由于x的兄弟节点发生了变化，需要更新x的兄弟节点为新的当前x节点，从而进行后续处理。

示意图

Case 2： x是”黑+黑”节点，x的兄弟节点是黑色，x的兄弟节点的两个孩子都是黑色

现象说明

x是“黑+黑”节点，x的兄弟节点是黑色，x的兄弟节点的两个孩子都是黑色。

处理策略

(01) 将x的兄弟节点设为“红色”。

(02) 设置“x的父节点”为“新的x节点”。

为什么要这样处理？

这个情况的处理思想：是将“x中多余的一个黑色属性上移(往根方向移动)”。 x是“黑+黑”节点，我们将x由“黑+黑”节点 变成 “黑”节点，多余的一个“黑”属性移到x的父节点中，即x的父节点多出了一个黑属性(若x的父节点原先是“黑”，则此时变成了“黑+黑”；若x的父节点原先时“红”，则此时变成了“红+黑”)。 此时，需要注意的是：所有经过x的分支中黑节点个数没变化；但是，所有经过x的兄弟节点的分支中黑色节点的个数增加了1(因为x的父节点多了一个黑色属性)！为了解决这个问题，我们需要将“所有经过x的兄弟节点的分支中黑色节点的个数减1”即可，那么就可以通过“将x的兄弟节点由黑色变成红色”来实现。

经过上面的步骤(将x的兄弟节点设为红色)，多余的一个颜色属性(黑色)已经跑到x的父节点中。我们需要将x的父节点设为“新的x节点”进行处理。若“新的x节点”是“黑+红”，直接将“新的x节点”设为黑色，即可完全解决该问题；若“新的x节点”是“黑+黑”，则需要对“新的x节点”进行进一步处理。

示意图

（PS：上图中白底节点表示该节点既可以是黑色也可以是红色。）

Case 3：x是“黑+黑”节点，x的兄弟节点是黑色；x的兄弟节点的左孩子是红色，右孩子是黑色的

现象说明

x是“黑+黑”节点，x的兄弟节点是黑色；x的兄弟节点的左孩子是红色，右孩子是黑色的。

处理策略

(01) 将x兄弟节点的左孩子设为“黑色”。

(02) 将x兄弟节点设为“红色”。

(03) 对x的兄弟节点进行右旋。

(04) 右旋后，重新设置x的兄弟节点为新的x节点。

为什么要这样处理？

我们处理“Case 3”的目的是为了将“Case 3”进行转换，转换成“Case 4”,从而进行进一步的处理。转换的方式是对x的兄弟节点进行右旋；为了保证右旋后，它仍然是红黑树，就需要在右旋前“将x的兄弟节点的左孩子设为黑色”，同时“将x的兄弟节点设为红色”；右旋后，由于x的兄弟节点发生了变化，需要更新x的兄弟节点为新的当前x节点，从而进行后续处理。

示意图

Case 4：x是“黑+黑”节点，x的兄弟节点是黑色；x的兄弟节点的右孩子是红色的，x的兄弟节点的左孩子任意颜色

现象说明

x是“黑+黑”节点，x的兄弟节点是黑色；x的兄弟节点的右孩子是红色的，x的兄弟节点的左孩子任意颜色。

处理策略

(01) 将x父节点的颜色 赋值给 x的兄弟节点。

(02) 将x父节点设为“黑色”。

(03) 将x兄弟节点的右子节点设为“黑色”。

(04) 对x的父节点进行左旋。

(05) 把“根节点”设置成新的x节点。

为什么要这样处理？

我们处理“Case 4”的目的是：去掉x中额外的黑色，将x变成单独的黑色。处理的方式是：进行颜色修改，然后对x的父节点进行左旋。下面，我们来分析是如何实现的。

为了便于说明，我们设置“当前节点”为S(Original Son)，“兄弟节点”为B(Brother)，“兄弟节点的左孩子”为BLS(Brother’s Left Son)，“兄弟节点的右孩子”为BRS(Brother’s Right Son)，“父节点”为F(Father)。

我们要对F进行左旋。但在左旋前，我们需要调换F和B的颜色，并设置BRS为黑色。为什么需要这里处理呢？因为左旋后，F和BLS是父子关系，而我们已知BLS是红色，如果F是红色，则违背了“特性(4)”；为了解决这一问题，我们将“F设置为黑色”。 但是，F设置为黑色之后，为了保证满足“特性(5)”，即为了保证左旋之后：

• 第一，“同时经过根节点和S的分支的黑色节点个数不变”。若满足“第一”，只需要S丢弃它多余的颜色即可。因为S的颜色是“黑+黑”， 而左旋后“同时经过根节点和S的分支的黑色节点个数”增加了1；现在， 只需将S由“黑+黑”变成单独的“黑”节点，即可满足“第一”。
• 第二，“同时经过根节点和BLS的分支的黑色节点数不变”。若满足“第二”，只需要将“F的原始颜色”赋值给B即可。之前，我们已经 将“F设置为黑色”(即，将B的颜色”黑色”，赋值给了F)。至此，我们算是 调换了F和B的颜色。
• 第三，“同时经过根节点和BRS的分支的黑色节点数不变”。在“第二”已经满足的情况下，若要满足“第三”，只需要将BRS设置为“黑 色”即可。

经过，上面的处理之后。红黑树的特性全部得到的满足！接着，我们将x设为根节点，就可以跳出while循环；即完成了全部处理。

至此，我们就完成了Case 4的处理。理解Case 4的核心，是了解如何“去掉当前节点额外的黑色”。

示意图

四、红黑树的时间复杂度

一棵有n个内部节点的红黑树的高度至多为2lg(n+1)。

红黑树在最坏情况下基本动态集合操作的时间复杂度是O(lgn)。

（PS：高度为h的二叉搜索树时间复杂度是O(h)）

参考文献：

http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3245399.html