计数排序，基数排序，桶排序等非比较排序算法，平均时间复杂度都是O(n)。这些排序因为其待排序元素本身就含有了定位特征，因而不需要比较就可以确定其前后位置，从而可以突破比较排序算法时间复杂度O(nlgn)的理论下限。
计数排序(Counting sort)
计数排序(Counting sort)是一种稳定的排序算法。计数排序是最简单的特例，由于用来计数的数组C的长度取决于待排序数组中数据的范围（等于待排序数组的最大值与最小值的差加上1），这使得计数排序对于数据范围很大的数组，需要大量时间和内存，适用性不高。例如：计数排序是用来排序0到100之间的数字的最好的算法，但是它不适合按字母顺序排序人名。但是，计数排序可以用在基数排序中的算法来排序数据范围很大的数组。当输入的元素是 n 个 0 到 k 之间的整数时，它的运行时间是 Θ(n + k)。
假定输入是个数组A【1…n】， length【A】=n。 另外还需要一个存放排序结果的数组B【1…n】，以及提供临时存储区的C【0…k】(k是所有元素中最大的一个)。算法伪代码：
算法的步骤如下：
- 找出待排序的数组中最大和最小的元素
- 统计数组中每个值为t的元素出现的次数，存入数组C的第t项
- 对所有的计数累加（从C中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）
- 反向填充目标数组：将每个元素t放在新数组的第C(t)项，每放一个元素就将C(t)减去1
算法实现：
1: /*
2: * 算法的步骤如下：
3: 1、找出待排序的数组中最大和最小的元素
4: 2、统计数组中每个值为t的元素出现的次数，存入数组C的第t项
5: 3、对所有的计数累加（从C中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）
6: 4、反向填充目标数组：将每个元素t放在新数组的第C(t)项，每放一个元素就将C(t)减去1
7: * */
8: public class CountingSort {
9: // 类似bitmap排序
10: public static void countSort(int[] a, int[] b, final int k) {
11: // k>=n
12: int[] c = new int[k + 1];
13: for (int i = 0; i < k; i++) {
14: c[i] = 0; 15: } 16: for (int i = 0; i < a.length; i++) {
17: c[a[i]]++; 18: } 19: System.out.println("\n****************");
20: System.out.println("计数排序第2步后,临时数组C变为：");
21: for (int m:c) {
22: System.out.print(m + " ");
23: } 24: 25: for (int i = 1; i <= k; i++) {
26: c[i] += c[i - 1]; 27: } 28: System.out.println("\n计数排序第3步后,临时数组C变为：");
29: for (int m:c) {
30: System.out.print(m + " ");
31: } 32: 33: for (int i = a.length - 1; i >= 0; i--) {
34: b[c[a[i]] - 1] = a[i];//C[A[i]]-1 就代表小于等于元素A[i]的元素个数，就是A[i]在B的位置
35: c[a[i]]--; 36: }37: System.out.println("\n计数排序第4步后,临时数组C变为：");
38: for (int n:c) {
39: System.out.print(n + " ");
40: }41: System.out.println("\n计数排序第4步后,数组B变为：");
42: for (int t:b) {
43: System.out.print(t + " ");
44: } 45: System.out.println();46: System.out.println("****************\n");
47: } 48: 49: public static int getMaxNumber(int[] a) {
50: int max = 0;
51: for (int i = 0; i < a.length; i++) {
52: if (max < a[i]) {
53: max = a[i]; 54: } 55: }56: return max;
57: } 58: 59: public static void main(String[] args) {
60: int[] a = new int[] { 2, 5, 3, 0, 2, 3, 0, 3 };
61: int[] b = new int[a.length];
62: System.out.println("计数排序前为：");
63: for (int i = 0; i < a.length; i++) {
64: System.out.print(a[i] + " ");
65: } 66: System.out.println(); 67: countSort(a, b, getMaxNumber(a));68: System.out.println("计数排序后为：");
69: for (int i = 0; i < a.length; i++) {
70: System.out.print(b[i] + " ");
71: } 72: System.out.println(); 73: } 74: 75: }
基数排序(radix sorting)
基数排序（radix sorting）将所有待比较数值(正整数)统一为同样的数位长度，数位较短的数前面补零。 然后 从最低位开始，依次进行一次排序。这样从最低位排序一直到最高位排序完成以后， 数列就变成一个有序序列。具体过程可以参考动画演示。
假设我们有一些二元组(a,b)，要对它们进行以a为首要关键字，b的次要关键字的排序。我们可以先把它们先按照首要关键字排序，分成首要关键字相同的若干堆。然后，在按照次要关键值分别对每一堆进行单独排序。最后再把这些堆串连到一起，使首要关键字较小的一堆排在上面。按这种方式的基数排序称为MSD(Most Significant Dight)排序。第二种方式是从最低有效关键字开始排序，称为LSD(Least Significant Dight)排序。首先对所有的数据按照次要关键字排序，然后对所有的数据按照首要关键字排序。要注意的是，使用的排序算法必须是稳定的，否则就会取消前一次排序的结果。由于不需要分堆对每堆单独排序，LSD方法往往比MSD简单而开销小。下文介绍的方法全部是基于LSD的。
基数排序的简单描述就是将数字拆分为个位十位百位，每个位依次排序。因为这对算法稳定要求高，所以我们对数位排序用到上一个排序方法计数排序。因为基数排序要经过d (数据长度)次排序， 每次使用计数排序， 计数排序的复杂度为 On), d 相当于常量和N无关，所以基数排序也是 O(n)。基数排序虽然是线性复杂度， 即对n个数字处理了n次，但是每一次代价都比较高， 而且使用计数排序的基数排序不能进行原地排序，需要更多的内存， 并且快速排序可能更好地利用硬件的缓存， 所以比较起来，像快速排序这些原地排序算法更可取。对于一个位数有限的十进制数，我们可以把它看作一个多元组，从高位到低位关键字重要程度依次递减。可以使用基数排序对一些位数有限的十进制数排序。
例如我们将一个三位数分成，个位，十位，百位三部分。我们要对七个三位数来进行排序，依次对其个位，十位，百位进行排序，如下图：
很显然，每一位的数的大小都在[0，9]中，对于每一位的排序用计数排序再适合不过。
算法实现：
1: // 基数排序：稳定排序
2: public class RadixSorting {
3: 4: // d为数据长度
5: private static void radixSorting(int[] arr, int d) {
6: //arr = countingSort(arr, 0);
7: for (int i = 0; i < d; i++) {
8: arr = countingSort(arr, i); // 依次对各位数字排序（直接用计数排序的变体）
9: print(arr,i+1,d); 10: } 11: } 12: 13: // 把每次按位排序的结果打印出来
14: static void print(int[] arr,int k,int d)
15: {16: if(k==d)
17: System.out.println("最终排序结果为：");
18: else
19: System.out.println("按第"+k+"位排序后，结果为：");
20: for (int t : arr) {
21: System.out.print(t + " ");
22: } 23: System.out.println(); 24: } 25: 26: // 利用计数排序对元素的每一位进行排序
27: private static int[] countingSort(int[] arr, int index) {
28: int k = 9;
29: int[] b = new int[arr.length];
30: int[] c = new int[k + 1]; //这里比较特殊：数的每一位最大数为9
31: 32: for (int i = 0; i < k; i++) {
33: c[i] = 0; 34: }35: for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
36: int d = getBitData(arr[i], index);
37: c[d]++; 38: }39: for (int i = 1; i <= k; i++) {
40: c[i] += c[i - 1]; 41: }42: for (int i = arr.length - 1; i >= 0; i--) {
43: int d = getBitData(arr[i], index);
44: b[c[d] - 1] = arr[i];//C[d]-1 就代表小于等于元素d的元素个数，就是d在B的位置
45: c[d]--; 46: }47: return b;
48: } 49: 50: // 获取data指定位的数
51: private static int getBitData(int data, int index) {
52: while (data != 0 && index > 0) {
53: data /= 10; 54: index--; 55: }56: return data % 10;
57: } 58: 59: public static void main(String[] args) {
60: // TODO Auto-generated method stub
61: int[] arr = new int[] {326,453,608,835,751,435,704,690,88,79,79};//{ 333, 956, 175, 345, 212, 542, 99, 87 };
62: System.out.println("基数排序前为：");
63: for (int t : arr) {
64: System.out.print(t + " ");
65: } 66: System.out.println(); 67: radixSorting(arr, 4); 68: } 69: 70: }
桶排序（Bucket Sort）
首先定义桶，桶为一个数据容器，每个桶存储一个区间内的数。依然有一个待排序的整数序列A，元素的最小值不小于0，最大值不超过K。假设我们有M个桶，第i个桶Bucket[i]存储i*K/M至(i+1)*K/M之间的数。桶排序步骤如下：
- 扫描序列A，根据每个元素的值所属的区间，放入指定的桶中(顺序放置)。
- 对每个桶中的元素进行排序，什么排序算法都可以，例如插入排序。
- 依次收集每个桶中的元素，顺序放置到输出序列中。
具体过程可以参考动画演示。
算法伪代码为：
具体代码：
1: // 桶排序
2: public class BucketSort {
3: 4: // 插入排序
5: static void insertSort(int[] a) {
6: int n = a.length;
7: for (int i = 1; i < n; i++) {
8: int p = a[i];
9: insert(a, i, p); 10: } 11: } 12: 13: static void insert(int[] a, int index, int x) {
14: // 元素插入数组a[0:index-1]
15: int i;
16: for (i = index - 1; i >= 0 && x < a[i]; i--) {
17: a[i + 1] = a[i]; 18: } 19: a[i + 1] = x; 20: } 21: 22: private static void bucketSort(int[] a) {
23: int M = 10; // 11个桶
24: int n = a.length;
25: int[] bucketA = new int[M]; // 用于存放每个桶中的元素个数
26: // 构造一个二维数组b，用来存放A中的数据,这里的B相当于很多桶，B[i][]代表第i个桶
27: int[][] b = new int[M][n];
28: int i, j;
29: for (i = 0; i < M; i++)
30: for (j = 0; j < n; j++)
31: b[i][j] = 0; 32: 33: int data, bucket;
34: for (i = 0; i < n; i++) {
35: data = a[i]; 36: bucket = data / 10;37: b[bucket][bucketA[bucket]] = a[i];// B[0][]中存放A中进行A[i]/10运算后高位为0的数据，同理B[1][]存放高位为1的数据
38: bucketA[bucket]++;// 用来计数二维数组中列中数据的个数，也就是桶A[i]中存放数据的个数
39: }40: System.out.println("每个桶内元素个数：");
41: for (i = 0; i < M; i++) {
42: System.out.print(bucketA[i] + " ");
43: } 44: System.out.println(); 45: 46: System.out.println("数据插入桶后，桶内未进行排序前的结果为：");
47: for (i = 0; i < M; i++) {
48: for (j = 0; j < n; j++)
49: System.out.print(b[i][j] + " ");
50: System.out.println(); 51: } 52: 53: System.out.println("对每个桶进行插入排序，结果为：");
54: // 下面使用直接插入排序对这个二维数组进行排序,也就是对每个桶进行排序
55: for (i = 0; i < M; i++) {
56: // 下面是对具有数据的一列进行直接插入排序，也就是对B[i][]这个桶中的数据进行排序
57: if (bucketA[i] != 0) {
58: // 插入排序
59: for (j = 1; j < bucketA[i]; j++) {
60: int p = b[i][j];
61: int k;
62: for (k = j - 1; k >= 0 && p < b[i][k]; k--)
63: {64: assert k==-1;
65: b[i][k + 1] = b[i][k]; 66: } 67: b[i][k + 1] = p; 68: } 69: } 70: } 71: 72: // 输出排序过后的顺序
73: for (i = 0; i < 10; i++) {
74: if (bucketA[i] != 0) {
75: for (j = 0; j < bucketA[i]; j++) {
76: System.out.print(b[i][j] + " ");
77: } 78: } 79: } 80: } 81: 82: /**
83: * @param args
84: */
85: public static void main(String[] args) {
86: // TODO Auto-generated method stub
87: int[] arr = new int[] {3,5,45,34,2,78,67,34,56,98};
88: bucketSort(arr); 89: } 90: 91: }三种线性排序的比较
| 排序算法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | |
| 计数排序 | O(N+K) | O(N+K) | 稳定排序 |
| 基数排序 | O(N) | O(N) | 稳定排序 |
| 桶排序 | O(N+K) | O(N+K) | 稳定排序 |
从整体上来说，计数排序，桶排序都是非基于比较的排序算法，而其时间复杂度依赖于数据的范围，桶排序还依赖于空间的开销和数据的分布。而基数排序是一种对多元组排序的有效方法，具体实现要用到计数排序或桶排序。
相对于快速排序、堆排序等基于比较的排序算法，计数排序、桶排序和基数排序限制较多，不如快速排序、堆排序等算法灵活性好。但反过来讲，这三种线性排序算法之所以能够达到线性时间，是因为充分利用了待排序数据的特性，如果生硬得使用快速排序、堆排序等算法，就相当于浪费了这些特性，因而达不到更高的效率。
参考资料
http://www.cnblogs.com/bluedream2009/archive/2011/04/14/2016551.html
