时间复杂度和空间复杂度2 - 数据结构和算法04

时间复杂度和空间复杂度2

 

让编程改变世界

Change the world by program

 

算法时间复杂度

  我们说好的时间复杂度和空间复杂度呢? 历来大学老师在讲解这两个概念,都是直接登堂入室,导致八成学生对概念理解不深刻,或者说只是硬背起来而已。   为了让大家能够更好地接受这两个比较重要的概念,我们有了上一讲的准备环节。 这一讲我们直接切入正题,介绍计算复杂度的攻略,然后通过一系列例子和大家一起分析总结规律。  
算法时间复杂度的定义:在进行算法分析时,语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数,进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。   算法的时间复杂度,也就是算法的时间量度,记作:T(n)= O(f(n))。 它表示随问题规模n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的渐近时间复杂度,简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。   好长好长,没想到定义这个概念的老家伙比小甲鱼还罗嗦。(关键需要知道执行次数==时间) 这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法,我们称之为大O记法。   一般情况下,随着输入规模n的增大,T(n)增长最慢的算法为最优算法。 显然,由此算法时间复杂度的定义可知,我们的三个求和算法的时间复杂度分别为O(1),O(n),O(n^2)。   三个求和算法?哪有?忘了? 好吧,看看以下这张图能不能勾起点回忆?

《时间复杂度和空间复杂度2 - 数据结构和算法04》

算法时间复杂度

 

推导大O阶方法

  那么如何分析一个算法的时间复杂度呢?即如何推导大O阶呢?  

我们给大家整理了以下攻略:

用常数1取代运行时间中的所有加法常数。 在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。 如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数。 得到的最后结果就是大O阶。

  世界上的东西就是这么简单,老头儿们把它讲复杂,那么它就复杂了,举几个例子:  

常数阶

  [codesyntax lang=”c”]

int sum = 0, n = 100;

printf(“I love fishc.comn”);
printf(“I love Fishc.comn”);
printf(“I love fishC.comn”);
printf(“I love fIshc.comn”);
printf(“I love FishC.comn”);
printf(“I love fishc.comn”);

sum = (1+n)*n/2;

[/codesyntax]  
大家觉得这段代码的大O是多少?     O(8)?这是初学者常常犯的错误,总认为有多少条语句就有多少。 分析下,按照我们的概念“T(n)是关于问题规模n的函数”来说,这里大家表示对鱼C的爱固然是好的,要支持的,要鼓励的,要大力表彰的。   但是,跟问题规模有关系吗?没有,跟问题规模的表亲戚都没关系!,所以我们记作O(1)就可以。 另外,如果按照攻略来,那就更简单了,攻略第一条就说明了所有加法常数给他个O(1)即可。  

线性阶

  一般含有非嵌套循环涉及线性阶,线性阶就是随着问题规模n的扩大,对应计算次数呈直线增长。 [codesyntax lang=”c”]

int i , n = 100, sum = 0;

for( i=0; i < n; i++ )
{
    sum = sum + i;
}

[/codesyntax]   上面这段代码,它的循环的时间复杂度为O(n),因为循环体中的代码需要执行n次。  

平方阶

  刚才是单个循环结构,那么嵌套呢? [codesyntax lang=”c”]

int i, j, n = 100;

for( i=0; i < n; i++ )
{
    for( j=0; j < n; j++ )
    {
        printf(“I love FishC.comn”);
    }
}

[/codesyntax]   n等于100,也就是说外层循环每执行一次,内层循环就执行100次,那总共程序想要从这两个循环出来,需要执行100*100次,也就是n的平方。所以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。  
那如果有三个这样的嵌套循环呢?   没错,那就是n^3啦。所以我们很容易总结得出,循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。 刚刚我们每个循环的次数都是一样的,如果: [codesyntax lang=”c”]

int i, j, n = 100;

for( i=0; i < n; i++ )
{
    for( j=i; j < n; j++ )
    {
        printf(“I love FishC.comn”);
    }
}

[/codesyntax]   惨了,老办法好像在这里套不上了,咋整?! 分析下,由于当i=0时,内循环执行了n次,当i=1时,内循环则执行n-1次……当i=n-1时,内循环执行1次,所以总的执行次数应该是: n+(n-1)+(n-2)+…+1 = n(n+1)/2   大家还记得这个公式吧?恩恩,没错啦,就是搞死先生发明的算法丫。 那咱理解后可以继续,n(n+1)/2 = n^2/2+n/2 用我们推导大O的攻略,第一条忽略,因为没有常数相加。第二条只保留最高项,所以n/2这项去掉。第三条,去除与最高项相乘的常数,最终得O(n^2)。  

对数阶

  对数,属于高中数学内容啦,对于有些鱼油可能对这玩意不大理解,或者忘记了,也没事,咱分析的是程序为主,而不是数学为主,不怕。 我们看下这个程序: [codesyntax lang=”c”]

int i = 1, n = 100;

while( i < n )
{
    i = i * 2;
}

[/codesyntax]   由于每次i*2之后,就举例n更近一步,假设有x个2相乘后大于或等于n,则会退出循环。 于是由2^x = n得到x = log(2)n,所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。   其实理解大O推导不算难,难的是对数列的一些相关运算,这更多的是考察你的数学知识和能力。 所以这里小甲鱼要分两类来说下,对于想考研的朋友,需要强化一下你的数学尤其是数列方面的知识。 对于想增长自己编程能力的朋友,大概知道规律即可,不要在高等数学的概念上死磕! [buy]?
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    原文作者:我就爱小甲鱼
    原文地址: https://www.cnblogs.com/LoveFishC/archive/2012/09/09/3847231.html
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