文章目录
线性表
顺序存储
数组，适合元素个数较稳定，多存取少删改的情景。
内存需要预先分配，占用连续内存空间。
链式存储
单链表
指针域+数据域=节点
适合多增删少存取的情景，建立：头插&尾插法。
静态链表
对于无指针的语言，类似单链表的思路实践于数组中，通过游标实现。
例题： 快速找到位置长度单链表的中间节点
1、遍历一遍确定长度L，再从头结点出发循环L/2次，O(1.5L)
2、利用快慢指针，快指针移动速度是慢指针的两倍，快指针指向末节点时，慢指针正好位于中间，O(0.5L)
循环链表
单链表不从头结点出发，就无法访问到全部结点。
循环链表将单链表的末指针由空指针改为指向头结点，得到循环链表。头结点不一定要有。
可用O(1)的时间访问到最后一个元素。
eg: 连接两个循环链表、判断单链表中是否有环（用两个指针）。
例题：约瑟夫环 n个人围一圈，每次数到m的倍数出列，最后剩下？ 用循环链表模拟。
双向链表
有前驱和后继两个指针，空间代价换时间。
栈stack
后进先出的特殊线性表，要求只在表尾进行插入和删除。
表尾：栈顶 top 表头：栈底 bottom
插入：push 进栈 压栈 入栈
删除：pop 出栈 弹栈
栈的顺序存储
栈的链式存储
队列
循环队列
递归
。。。。浏览器卡住，刚刚写的都没了T.T
汉诺塔
经典：汉诺塔，c++代码
PS：感觉汉诺塔和九连环有点像
八皇后问题
在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法？
字符串
子串与主串关系类似子集。
字符串通常研究匹配、存储等。
BF 算法
匹配时不断后移，效率较低
KMP 算法
避免不必要的回溯，问题由模式串决定，而非目标串决定
找到一个讲的比较好的： 阮一峰
首先，要了解两个概念：“前缀”和”后缀”。 “前缀”指除了最后一个字符以外，一个字符串的全部头部组合；”后缀”指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。
“部分匹配值”就是”前缀”和”后缀”的最长的共有元素的长度。以”ABCDABD”为例：（next数组）
－ ”A”的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为0；
－ ”AB”的前缀为[A]，后缀为[B]，共有元素的长度为0；
－ ”ABC”的前缀为[A, AB]，后缀为[BC, C]，共有元素的长度0；
－ ”ABCD”的前缀为[A, AB, ABC]，后缀为[BCD, CD, D]，共有元素的长度为0；
－ “ABCDA”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD]，后缀为[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素为”A”，长度为1；
－ “ABCDAB”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，后缀为[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素为”AB”，长度为2；
－ ”ABCDABD”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，后缀为[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的长度为0。
移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值（最后一个匹配字符）
“部分匹配”的实质是，有时候，字符串头部和尾部会有重复。比如，“ABCDAB”之中有两个”AB”，那么它的”部分匹配值”就是2（”AB”的长度）。搜索词移动的时候，第一个”AB”向后移动4位（字符串长度-部分匹配值），就可以来到第二个”AB”的位置。
KMP算法的改进
如目标串：a a a a b c d e
子串： a a a a a x
用KMP算法，到第五位以后每次后移一个，但是前面都是a，不会 跟b匹配成功。
在计算next数组即移动位数时，若与前一个元素相同，则回溯到他的next值。
树
linux的tree命令可以显示目录树结构。
线性表是一对一，而树可以研究一对多的关系（普通家族关系可以理解为树吧）。
tree是n个结点的有限集，n=0为空树：
- root有且仅有一个
- n>1时，其余结点又可成为subtree
- subtree数量没有限制，但相互不会相交
- 结点拥有的子树数成为度 degree，度为0的结点为叶leaf或终端结点
- child parent sibling 关系
树的存储结构
child parent sibling 关系
双亲表示法
以双亲作为索引的关键词：
假设以一组连续空间存储树的结点，在每个结点中，附设一个指示双亲结点在数组中位置的元素
孩子表示法
①根据树的度，声明足够空间存放子树指针的结点，但会造成空间浪费
②对①的改进，可对每个结点声明不同大小的空间，但初始化和维护成本高，造成时间浪费
③通过数组和链表的搭配 ：子节点用链表，没有子节点用空指针
双亲孩子表示法
在上面的表加一列，加上双亲索引信息
二叉树 binary tree
二叉树是n个节点的有限集合，为空集或由一个根节点和两棵互不相交，分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。
这是递归形式的定义。
- 每个结点最多两棵子树
- 左右子树有顺序，不能颠倒
例如，普通树如果有3个节点，只有两层或三层两种情况；但二叉树会有五种形态。
特殊二叉树
- 斜树：倾斜方向始终一致
- 满二叉树：所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层
- 完全二叉树：若编号为 i (1<=i<=n) 的结点与同样深度的满二叉树中编号为 i 的结点位置完全相同，则这棵为完全二叉树
叶子结点只能出现在最下两层；最下层的叶子一定集中在左下位置；倒数第二层若有叶子一定都在右部连续位置
同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。
满二叉树一定是完全二叉树，反之不一定。
二叉树的性质
画图很容易理解
- 二叉树的 i 层最多有 2^(i-1) 个结点
- 深度为 k 的二叉树最多有 2^k -1个结点
- 任意二叉树，若终端结点数为 n0 ，度为2的结点数为 n2 ，则 n0=n2+1
- 具有n个结点的完全二叉树深度为：floor( log2n)+1
- 若对有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，对任意结点 i 有：
① i >1，则双亲是节点 floor(i/2)
② 若 2i>n ，则i 无左孩子，否则左孩子是结点 2i
② 若 2i+1>n ，则i 无右孩子，否则右孩子是结点 2i+1
二叉树的存储
顺序存储：用一维数组存储二叉树的各结点，可参考完全二叉树，不存在的用 ^ 代替
链式存储：顺序结构可能会浪费空间；为每个结点设计一个数据域和两个指针域
二叉树的遍历
从根结点出发，按某种次序依次访问二叉树中所有结点，每个结点仅被访问一次。
主要有四种：前序、中序、后序、层序
- 前序（根左右）：根结点 – 前序遍历左子树 – 前序遍历右子树
- 中序（左根右）：根结点 – 中序遍历根结点的左子树 – 根结点 – 中序遍历右子树
- 后序（左右根）：从左到右 先叶子 后结点遍历左右子树，最后访问根结点
- 层序：按层 从左到右遍历，思路最简单
if (t) // 不为空指针则返回真
{
visit(t->data,level); //前序
pre(t->lchild,level+1);
pre(t->rchild,level+1);
}
中序、后序则调换语序。
线索二叉树
若对树用中序遍历，则每隔一个可有位置存放前驱后继指针。
如何识别是存放地址指针还是遍历前驱后继指针？可以再加一个状态变量。（空间换时间？)
树、森林、二叉树转换
普通树转化为二叉树：
连接兄弟，去除所有除长子的连线。 （结果只有左孩子）
森林转化为二叉树：
先将每棵树转化为二叉树，接着连接各根 （左右孩子都有）
二叉树转化为树、森林：
逆向，加线，去线
树与森林的遍历
树的遍历
先根遍历：先访问根结点，再依次先根遍历根的每棵子树
后根遍历：先依次遍历每根子树，再访问根结点
森林
类似树的遍历，分为前序遍历和后序遍历，对每棵树先根遍历和后根遍历
- 树、森林的前序遍历和二叉树的前序遍历结果相同
- 树、森林的后序遍历和二叉树的中序遍历结果相同
赫夫曼树
- 把二叉树简化为叶子结点带权weight的二叉树
- 计算每个结点的路径长度
- 计算 WPL ：树的带权路径长度，即所有叶子结点的带权路径长度之和。
WPL值越小说明二叉树树性能越优，最小的数是赫夫曼树。
构造方法：
从小到大、从左、从下至上摆放
赫夫曼编码是首个实用压缩编码方案
定长编码：如ASCII码
变长编码：单个编码长度不一致，根据整体出现频率调节
前缀码：没有任何码字是其他码字的前缀（贪心算法？）
图
最小生成树
prime 普利姆
最小生成树（MST）：权值最小的生成树。
构造网的最小生成树必须解决下面两个问题：
1、尽可能选取权值小的边，但不能构成回路；
2、选取n－1条恰当的边以连通n个顶点；
MST性质：假设G＝(V,E)是一个连通网，U是顶点V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V－U，则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。
基本思想：假设G＝(V，E)是连通的，TE是G上最小生成树中边的集合。算法从U＝{u0}（u0∈V）、TE＝{}开始。重复执行下列操作：
在所有u∈U，v∈V－U的边(u，v)∈E中找一条权值最小的边(u0,v0)并入集合TE中，同时v0并入U，直到V＝U为止。
此时，TE中必有n-1条边，T=(V，TE)为G的最小生成树。
Prim算法的核心:始终保持TE中的边集构成一棵生成树。
注意：prim算法适合稠密图，其时间复杂度为O(n^2)，其时间复杂度与边数目无关，而kruskal算法的时间复杂度为O(eloge)，与边的数目有关，适合稀疏图。
demo：
kruskal克鲁斯卡尔
假设连通网N＝（V，{E}）。则令最小生成树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T＝（V，{}），图中每个顶点自成一个连通分量。在E中选择最小代价的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量中，则将该边加入到T中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边，依次类推，直到T中所有顶点都在同一连通分量上为止。
最短路径
Dijkstra迪杰斯特拉
O(n^2)
Floyd弗洛伊德
O(n^3)
拓扑排序
对一个有向图构造拓扑序列的过程
关键路径
ete(k)=lte(k) a(k)为关键路径
查找
静态查找
可用线性表结构，如排序、二分
顺序查找
遍历，O(n)
插值查找
折半查找O(log2n）；按比例查找，在数据比较均匀（线性？）的情况下，O(log2n）
斐波那契查找（黄金比例）：
线性索引查找
分块索引：块内无序，块间有序
倒排索引：根据属性值查找记录
动态查找
二叉排序树
增删效率与查找效率兼顾
- 左子树不为空时，则左子树上所有结点的值均小于其根结构的值
- 右子树不为空时，则右子树上所有结点的值均大于其根结构的值
- 左、右子树也分别为二叉排序树（递归）
平衡二叉排序树
左右子树深度差的绝对值不超过1
将二叉树上结点的左子树的深度减去右子树的深度，得到平衡因子 BF
多路查找树
减少对硬盘的IO操作
2-3树
2-3-4树
m阶B树属性：
- 如果根结点不是叶结点，则其至少有两棵子树
- 每一个非根的分支结点都有 k-1 个元素（关键字）和 k 个孩子
- 所有叶子结点位于同一层次
- 每一个分支结点包含以下信息数据： n A0 K1 A1 K2 A2 K3 A3… Kn An (K为关键字，A为指向子树根结点的指针)
哈希表
散列技术：在记录的存储位置和它的关键字之间建立一个确定的对应关系f，使得每个关键字key对应一个存储位置f(key)
f 称为散列函数（哈希函数）
采用散列技术将记录存在一块连续的存储空间中，这块空间称为哈希表。
构造方法
好的散列函数：计算简单+分布均匀
- 直接定址法：简单，适合分布连续均匀的情况
- 数字分析法：适合关键字位数比较大的情况，如抽取手机号后四位
- 平方取中法：平方后取中间若干位数，适合关键字位数不大，不知道分布的情况
- 折叠法：将关键字分割并叠加，适合知道关键字位数
- 除留余数法：除数选择很重要
- 随机数法：关键字长度不等值时合适
思考的角度：
- 计算散列地址的时间
- 关键字changd
- 散列表大小
- 关键字分布情况
- 记录查找的频率
处理散列冲突
开放定址法：
发生冲突时，寻找下一个空的散列地址，寻找方法可用线性变化、平方等再散列函数法：
链地址法：
公共溢出区法：
