如何判断单链表中有环及证明过程

 

 

问题:

1.如何判断单链表里面是否有环?

算法的思想是设定两个指针p, q,其中p每次向前移动一步,q每次向前移动两步。那么如果单链表存在环,则p和q相遇;否则q将首先遇到null。
这里主要理解一个问题,就是为什么当单链表存在环时,p和q一定会相遇呢?

假定单链表的长度为n,并且该单链表是环状的,那么第i次迭代时,p指向元素i mod n,q指向2i mod n。因此当i≡2i(mod n)时,p与q相遇。而i≡2i(mod n) => (2i – i) mod n = 0 => i mod n = 0 => 当i=n时,p与q相遇。这里一个简单的理解是,p和q同时在操场跑步,其中q的速度是p的两倍,当他们两个同时出发时,p跑一圈到达起点,而q此时也刚 好跑完两圈到达起点。
那么当p与q起点不同呢?假定第i次迭代时p指向元素i mod n,q指向k+2i mod n,其中0<k<n。那么i≡(2i+k)(mod n) => (i+k) mod n = 0 => 当i=n-k时,p与q相遇。

这里的关键是理解,其实,快指针和慢指针虽然一开始不在环里,但是当他们都进入环里的时候,其实这个问题的模型相当于两个指针在环里起点不同的模型。

懂了这点,后续很多证明都好理解了。

扩展阅读:

推广:

1. 如果两个指针的速度不一样,比如p,q,( 0<p<q)二者满足什么样的关系,可以使得两者肯定交与一个节点?

    Sp(i) = pi

    Sq(i) = k + qi

   如果两个要相交于一个节点,则 Sp(i) = Sq(i) =>  (pi) mod n = ( k+ qi ) mod n =>[ (q -p)i + k ]  mod n =0

   =>  (q-p)i + k  = Nn [N 为自然数]

   =>  i = (Nn -k) /(p-q)

   i取自然数,则当 p,q满足上面等式 即 存在一个自然数N,可以满足Nn -k 是 p – q 的倍数时,保证两者相交。

   特例:如果q 是p 的步长的两倍,都从同一个起点开始,即 q = 2p , k =0, 那么等式变为: Nn=i: 即可以理解为,当第i次迭代时,i是圈的整数倍时,两者都可以交,交点就是为起点。

2.如何判断单链表的环的长度?

   这个比较简单,知道q 已经进入到环里,保存该位置。然后由该位置遍历,当再次碰到该q 位置即可,所迭代的次数就是环的长度。

3. 如何找到链表中第一个在环里的节点?

   假设链表长度是L,前半部分长度为k-1,那么第一个再环里的节点是k,环的长度是 n, 那么当q=2p时, 什么时候第一次相交呢?当q指针走到第k个节点时,q指针已经在环的第 k mod n 的位置。即p和q 相差k个元素,从不同的起点开始,则相交的位置为 n-k, 则有了下面的图:

《如何判断单链表中有环及证明过程》

从图上可以明显看到,当p从交点的位置(n-k) ,向前遍历k个节点就到到达环的第一个几点,节点k.

算法就很简单: 一个指针从p和q 中的第一次相交的位置起(n-k),另外一个指针从链表头开始遍历,其交点就是链表中第一个在环里的交点。

    原文作者:ChrisTimer
    原文地址: https://www.cnblogs.com/chengyeliang/p/4454290.html
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
点赞

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注