杨辉三角

常用性质：
（1）杨辉三角从第一行即n=0，开始有这样的性质每行所有数之和为2^n
（2）Cn1+Cn2+Cn3+..+Cnn=(2^n)-1; n=3时
3+3+1=2^3-1，刚好是第四行n=3的时候

快速幂

承接2^n，一般算法中n会很大，2^n很容易溢出，这时候题目会要求对运算结果取模。

//时间复杂度O（n）
const int module=1000000007;
int result=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
            if(result>module)result%=module;
            result*=2;
        }

以上代码在n=10^9时或更大时会出现运行慢的问题，为解决这个问题，提出快速幂算法 ，有递归和非递归

//时间复杂度O(logn)
//非递归快速幂
/* @params：n 表示幂 @param : m 表示底 @param : k 表示模 */
int quickpow(int n,int m,int k){
    int b=1;
    while(n>0){
        if(n&1)b=(b*m)%k;
        n=n>>1;
        m=(m*m)%k; 
        //double=pow(m,n)，表示（m^n）,这个库函数不使用于n>30的 运算 这个库函数在math.h头文件中
        //本题的大数运算，应该自己编写幂方函数
        //为缩短运行时间采用快速幂 
    }
    return b;
}

分治

1、什么是分治？

2、分治有哪些运用
3、参考链接：http://www.cnblogs.com/3910-xuyao/articles/4640953.html
4、非递归快速幂就是用到分治思想，解释如下：
这个用到二进制运算，n&1,按位与运算，1&1=1，1&0=0，0&0=0，n>>1左移1位，n每左一位相当于除2运算，n是m的幂，所以m=m^2，所以这里的分治体现是每次循环算出m=m^(2)，在将每个小模块整合到b中，b=b+m,所以b=m*m^2*m^4*…..
* 这里补充一个，n|1 按位或运算，1|1=1, 1|0 =1, 0|0=0

组合数取模算法

参考链接http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8037918
组合数数学表示：Cnm， n是C的下标，m是C的上标
公式表示：
组合数在acm中主要考察公式和防止溢出，解决溢出就用到取模
一句话，什么时候溢出什么时候取模

if(result>module)result%=module;

范例习题

题目：

这道题其实就是算Cn1+Cn2+Cn3+..+Cnn=(2^n)-1，这道题涉及了非递归快速幂以及大整数的取模

* 代码： *

#include<ctime>
#include<cstdio>
#include<cmath> 
using namespace std;
const int module=1000000007;
int main(){
    long long   n;
    while(scanf("%d",&n)){

        long long b=1;
        long long m=2;
        int start=clock();  
        while(n>0){
            if(n&1)b=(b%module)*(m%module);
            n=n>>1;
            m=(m)%module*(m%module)%module; 
            //double=pow(m,n)，表示（m^n）,这个库函数不使用于n>30的运算 
            //本题的大数运算，应该自己编写幂方函数
            //为缩短运行时间采用快速幂 
        }
        int end=clock();
        double duration=(double)(end-start)/CLOCKS_PER_SEC;

        printf("运行时间%f,运行结果%lld\n",duration,(b%module)-1);
    }

    return 0;
}

大家看答案可能觉得有点奇怪，100000000的值比1000还小，这是因为做了取模操作