为什么我的眼里常含泪水？因为我有一个算法不会。为了节约点眼泪，今天我们就来介绍著名的RSA加密算法，它是一种非对称加密算法。在公开密钥加密和电子商务中具有广泛应用。RSA是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。2002年，三人一起因在公钥密码学RSA加密算法取得的杰出贡献而获得计算机领域的最高奖——图灵奖。
如上图所示，当Alice要向Bob传递一条消息时。在传统的对称加密方案中，Alice所使用的加密秘钥Key和Bob所使用的解密密钥Key应该是相同的，即二者分享相同的秘钥，既可以用于加密也可用于解密。体制的安全完全依赖于秘钥Key。这就带来一个问题，那就是二者之间传递共享秘钥Key本身就非常容易受到攻击。
而在非对称加密（又称公开密钥加密，public-key cryptography）体制中，Alice和Bob所使用的加密和解密秘钥是不同的（或者已知公钥很难推得私钥）。public key 被用来对数据进行加密，private key 被用来对数据进行解密，而且public key 可以在信道上进行传输，而private key 只有Bob知道且他无需与他人分享。非对称加密的算法有很多，而RSA就是其中最具代表性的一个算法。RSA是如何实现非对称加密的呢？它所依赖的一个重要基础就是这样一个事实：“如果 p 和 q是两个非常大的质数，p×q=N，N是非常容易算得的。但是如果已知 N 想算得p和q却是非常非常困难的”。事实上这是一个NP难的问题。
在正式介绍RSA加密算法之前，先给出几个需要用到的背景知识：
欧拉函数（Euler’s totient function）：欧拉函数 φ(n) 是小于或等于 n 的正整数中与 n 互质的数的数目。例如 φ(8) =4，因为1,3,5,7均和8互质，即小于等于8的正整数中与8互质的数一共有四个。而且可以证明：如果 p 和 q是两个质数，p×q=N，那么 φ(N)=(p-1)(q-1)。例如，p=2, q=3，则N=6, 则φ(6)=(2-1)×(3-1)=2。可以验证，小于等于6的正整数中与6互质的数一共有两个，即1和5。
以及同余的有关知识，可参见http://blog.csdn.net/baimafujinji/article/details/6472129
下面就来看看RSA加密算法到底是如何运作的。
1、公钥和私钥的产生
（1）随意选择两个大的质数 p 和 q， p 不等于 q，计算 N = p q。
（2）根据欧拉函数，求得 r = φ ( N ) = ( p − 1 ) ( q − 1 ) 。
（3）选择一个小于 r 的整数 e ，使 e 与 r 互质。并求得 e 关于 r 的模逆元（Modular multiplicative inverse），命名为 d，也即是求 d 使得 e d ≡ 1 ( mod r ) 。（模逆元存在，当且仅当 e 与 r 互质）
( N , e ) 是公钥， ( N , d ) 是私钥。Bob 将他的公钥 ( N , e ) 传给Alice，而将私钥 ( N , d ) 藏起来。
注意，第（3）步求模逆元的过程其实用到了欧几里得算法，而根据欧几里得原理，其实就是求得一对x和y，使得ex-ry=1。于是有ex=1+ry=1+(p-1)(q-1)y。此处的x就是前面的d，而y在整个算法中此后将不再被需要，可以忽略它。这也是整个RSA算法的核心。
2、加密消息
假设Alice想给Bob送一个消息 m，她知道Bob产生的公钥 N和 e 。她使用起先与Bob约好的格式将 m转换为一个小于 N ，且与 N互质的整数 A。假如她的信息非常长的话，她可以将这个信息分为几段，然后将每一段转换为 A。用下面这个公式他可以将 N 加密为 c：
A^ e ≡ c (mod N)
计算 c 并不复杂。Alice算出 c 后就可以将它传递给Bob。
3、解密消息
Bob得到Alice的消息 c 后就可以利用私钥 d来解码。用以下这个公式来将 c转换为 A：
c^ d ≡ A ( m o d N )
得到 A 后，可以将原来的信息 m 重新复原。
下面我来举一个具体的例子。假设p=61, q=53，所以有N=61×53=3233。然后根据欧拉函数，求得 r = φ ( N ) = ( p − 1 ) ( q − 1 ) = 60×52=3120。选择一个小于 r 的整数 e ，使 e 与 r 互质，所以可以令e=17。根据欧几里得原理一定找得到
一对x和y，使得ex-ry=1。于是有17×2753-3120×15=1。也就得到了公钥（3233, 17）和私钥（3233, 2753）。
如果Allice想加密的信息A=123，那么密文就为 123^17 ≡ 855 (mod 3233)。
Bob得到855之后，即可进行解密，855^2753 ≡ 123 (mod 3233)。
至于为什么这样解密之后就可以得到A，其中用到了数论里的费马-欧拉定理。本文不做详细讨论，有兴趣的读者可以查阅相关资料已了解更多。
（本文完）
