八皇后问题

问题描述：

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

简化问题：

由于八皇后问题的正确答案为92种排列方案，由于正确的棋子放置方式实在太多，难以一一列举，所以先简化问题，解决四皇后的排列，即将8×8棋局改为4×4棋局，规则不变

建立模型：

要使用C++解决这个问题，首先要建立模型，让问题能够使用数学和C++的控制语句来解决。
将棋盘模拟为一个坐标轴，使用一个数组index将每个棋子定位到坐标轴中，index数组的下标为横坐标值，index[i]的值为纵坐标值，如下图所示，index[0] = 1 ; index[1] = 4 ; index[2] = 2 ; index[3] = 3

方案1—-枚举法：

将所有可能的棋子放置情况全部列举出来，一一判断是否合乎条件

C++程序：

#include<iostream>
using namespace std;

//判断棋子放置方式是否正确
bool Judge(int *index, int i) {
    for (int i = 0; i < 4; i++){
        for (int j = i + 1 ; j < 4; j++) {
            //判断棋子是否在同一行，或某一对角线上
            //1，横坐标不同 i与j不相等
            //2，纵坐标不同 index[i]与index[j]不相等
            //3，不在同一对角线 index[i]- index[j]的绝对值和j-i的绝对值不相等
            if (index[i] == index[j] || abs(index[i]- index[j])==j-i){
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

//打印正确的棋子放置方式
void Sloution(int *index) {
    cout << "四皇后问题的一种正确解法，横坐标从0到4的4列上，纵坐标的值依次是:";
    for (int i = 0; i < 4; i++){
        cout << index[i];
    }
    cout << endl;
}

int main() {
    int index[8];
    //多层循环，穷举每一种放置方式
    for (index[0] = 1; index[0] <= 4 ; index[0]++){
        for (index[1] = 1; index[1] <= 4; index[1]++) {
            for (index[2] = 1; index[2] <= 4; index[2]++) {
                for (index[3] = 1; index[3] <= 4; index[3]++) {
                    //判断棋子放置是否合乎规则，正确则打印，不正确则继续
                    if (Judge(index,4)){
                        Sloution(index);
                    }
                    else {
                        continue;
                    }
                }
            }
        }
    }

    cin.get();
    return 0;
 }

上述程序使用了4个for循环来模拟所有可能出现的棋子放置情况，Judge（）方法用来判断是否合乎条件

运行结果：

正确结果的演示：

纵坐标：2413

纵坐标：3142

枚举法的优化：

枚举法解决此四皇后问题需要的循环次数太多，四皇后需要4X4X4X4次遍历，才能将所有可能的情况列举出来，八皇后更是要8X8X8X8X8X8X8X8次遍历
枚举法可以进行优化，即若在放置第2，或3个棋子，即没有将棋子全部放入棋盘中时，进行判断，将不符合要求的情况直接排除，不再继续循环，这样能够大大减少循环次数，不必模拟所有棋子放置方式
优化方式：在main方法中做优化，增加判断语句

int main() {
    int index[8];
    //多层循环，穷举每一种放置方式
    for (index[0] = 1; index[0] <= 4; index[0]++) {
        for (index[1] = 1; index[1] <= 4; index[1]++) {
            //增加判断
            if(Judge(index, 2))
                for (index[2] = 1; index[2] <= 4; index[2]++) {
                    //增加判断
                    if (Judge(index, 3))
                        for (index[3] = 1; index[3] <= 4; index[3]++) {
                            //判断棋子放置是否合乎规则，正确则打印，不正确则继续
                            if (Judge(index, 4)) {
                                Sloution(index);
                            }
                            else {
                                continue;
                            }
                        }
                }
        }
    }

    cin.get();
    return 0;
}

方案2—-回溯法：

main函数：

int main() {

    int index[4] = { 0 };
    int i = 0;
    while (i > -1) {
        index[i]++;
        while (index[i] < 6 && _judge(index, i)) {
            index[i]++;
        }

            if (index[i] <= 4) {

                if (i == 3) {
                    //是四皇后的正确结果，调用函数打印正确答案
                    result(index);
                }
                else {
                    i++;
                    index[i] = 0;
                }
            }
            else {
                i--;
            }

    }

    cin.get();
    return 0;
}

_judge函数：

inline bool _judge(int *index, int num) {

    for (int i = 0; i < num; i++) {
        if (index[i] == index[num] || abs(index[i] - index[num]) == num - i) {
            return true;
        }
    }
    return false;

}

result函数：

inline void result(int *index) {
    cout << "四皇后问题的一种正确解法，横坐标从0到4的4列上，纵坐标的值依次是:";
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        cout << index[i];
    }
    cout << endl;
}

使用递归优化程序：

上述程序太难懂，可以使用递归优化上述程序，如下：
result函数和_judge函数不变
回调函数：

void callback(int *index,int i) {
    if (i > 3){
        result(index);
    }
    else{
        int j = 0;
        while (++j <= 4) {
            index[i] = j;
            if (_judge(index, i) == 0) {
                callback(index,i+1);
            }
        }

    }
}

main函数：

int main() {
    int index[4] = { 0,0,0,0 };
    int i = 0;
    callback(index,i);
    cin.get();
    return 0;
}

方案3—-回溯法结合递归和栈数据结构

在严蔚敏编著的C语言数据结构栈数据结构部分，书中提及使用栈解决四皇后问题

栈数据结构解决和回溯相关的问题时非常的方便易懂，下面介绍一下使用栈解决四皇后问题，这是本文最简单易懂的方法，但是需要实现编写栈数据结构，当然也可以使用STL中的栈

#include "assist.h"
#include"Stack.h"
#include<iostream>
//创建一个全局栈
Stack<int> stack(11);
//回调函数
void callback() {
    if (stack.getSize() == 3) {
        cout << "正确答案" << endl;
        stack.Print();
    }
    else {
        int j = 0;
        while (++j <= 4)
        {
            //进栈
            stack.Push(j);
            if (_judge( stack.getElements(), stack.getSize()) == 0) {
                //打印整个栈中的数据
                stack.Print();
                cout << stack.getSize() << endl;
                callback();
            }
            //弹栈
            stack.Pop();
        }

    }
}


int main() {

    callback();

    cin.get();
    return 0;
}