本文不是针对几何公式推导，而是针对在编写程序过程中遇到的实际问题，所以打算只求出符合要求的等边三角形中的一个即可。在阅读生成平均脸的过程中，需要求出以两只眼为两点的等边三角形的另外一点的坐标。

由上图可知（引用自博客），当点( X 0 X_0 X0​, Y 0 Y_0 Y0​)旋转 θ \theta θ之后的坐标可以由下面的公式推出。

(1) [ X Y ] = [ c o s θ s i n θ − s i n θ c o s θ ] [ X 0 Y 0 ] \begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\theta & sin \theta \\ -sin\theta & cos\theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_0 \\ Y_0 \end{bmatrix}\tag{1} [XY​]=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][X0​Y0​​](1)

由此分析，当已知A和B两点，向量 A ⃗ B \vec AB A B为 B ⃗ \vec B B – A ⃗ \vec A A ，将向量 A ⃗ B \vec AB A B以A为中心旋转 6 0 ∘ 60^\circ 60∘后得到的向量 A ⃗ C \vec AC A C的终点C便是我们要求的第三点坐标（这句话有点长，慢慢读，很好理解）。
(2) [ X C Y C ] = [ X A Y A ] + [ c o s θ s i n θ − s i n θ c o s θ ] [ X A B Y A B ] \begin{bmatrix} X_C \\ Y_C \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} X_A \\ Y_A \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} cos\theta & sin \theta \\ -sin\theta & cos\theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_{AB} \\ Y_{AB} \end{bmatrix}\tag{2} [XC​YC​​]=[XA​YA​​]+[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][XAB​YAB​​](2)

于是便有如下matlab代码，其中红色的线表示向量 A ⃗ B \vec AB A B，绿色的线表示向量 B ⃗ C \vec BC B C，蓝色的线表示向量 C ⃗ A \vec CA C A。

% 根据旋转矩阵求等边三角形第三点坐标
A = [3; 1]; %可任意修稿
B = [5; 8]; % 可任意修改
AB = B - A;
theta = deg2rad(60);
T = [cos(theta) sin(theta); -sin(theta) cos(theta)];
C = A + T*AB; % 核心旋转程序
lines = [A'; B'; C'; A'];
hold on;
plot(lines([1 2], 1), lines([1 2], 2), 'r');
plot(lines([2 3], 1), lines([2 3], 2), 'g');
plot(lines([3 1], 1), lines([3 1], 2), 'b');
axis equal

结果如下图，点(3,1)和(5,8)已知，另外一个点的坐标是(10.062,2.768)，同理只要将向量 A ⃗ B \vec AB A B朝另一个方向旋转 6 0 ∘ 60^\circ 60∘便可得到另一个顶点，即将程序中的 6 0 ∘ 60^\circ 60∘改为 − 6 0 ∘ -60^\circ −60∘即可，得到的坐标是(-2.062,6.232)。