八皇后问题

一、题意解析

　　国际象棋中的皇后，可以横向、纵向、斜向移动。如何在一个8X8的棋盘上放置8个皇后，使得任意两个皇后都不在同一条横线、竖线、斜线方向上？八皇后问题是一个古老的问题，于1848年由一位国际象棋棋手提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，如何求解？以高斯为代表的许多数学家先后研究过这个问题。后来，当计算机问世，通过计算机程序的运算可以轻松解出这个问题。

二、如何解决八皇后问题？

　　所谓递归回溯，本质上是一种枚举法。这种方法从棋盘的第一行开始尝试摆放第一个皇后，摆放成功后，递归一层，再遵循规则在棋盘第二行来摆放第二个皇后。如果当前位置无法摆放，则向右移动一格再次尝试，如果摆放成功，则继续递归一层，摆放第三个皇后……

　　如果某一层看遍了所有格子，都无法成功摆放，则回溯到上一个皇后，让上一个皇后右移一格，再进行递归。如果八个皇后都摆放完毕且符合规则，那么就得到了其中一种正确的解法。说起来有些抽象，我们来看一看递归回溯的详细过程。

　　1.第一层递归，尝试在第一行摆放第一个皇后：

　　2.第二层递归，尝试在第二行摆放第二个皇后（前两格被第一个皇后封锁，只能落在第三格）：

　　3.第三层递归，尝试在第三行摆放第三个皇后（前四格被第一第二个皇后封锁，只能落在第五格）：

　　4.第四层递归，尝试在第四行摆放第四个皇后（第一格被第二个皇后封锁，只能落在第二格）：

　　5.第五层递归，尝试在第五行摆放第五个皇后（前三格被前面的皇后封锁，只能落在第四格）：

　　6.由于所有格子都“绿了”，第六行已经没办法摆放皇后，于是进行回溯，重新摆放第五个皇后到第八格。：

　　7.第六行仍然没有办法摆放皇后，第五行也已经尝试遍了，于是回溯到第四行，重新摆放第四个皇后到第七格。：

　　8.继续摆放第五个皇后，以此类推……

三、八皇后问题的代码实现

　　解决八皇后问题，可以分为两个层面：

1.找出第一种正确摆放方式，也就是深度优先遍历。

2.找出全部的正确摆放方式，也就是广度优先遍历。

 我们本篇只介绍如何找出第一种正确摆放方式。具体代码如下：

  1 //"八皇后问题回溯实现"
  2 #include <iostream>
  3 using namespace std;
  4 const int ArSize = 8;//这个数等于几，就是几皇后。
  5 int num = 0;
  6 void solve(bool arr[ArSize][ArSize], int row);
  7 bool check(bool arr[ArSize][ArSize], int row, int column);
  8 void outPut(bool arr[ArSize][ArSize]);
  9 
 10 int main()
 11 {
 12     bool chessboard[ArSize][ArSize];
 13     // 数组初始化
 14     for (auto &i : chessboard)
 15     {
 16         for (auto &j : i)
 17         {
 18             j = false;
 19         }
 20     }
 21     solve(chessboard, 0);
 22     cout << "八皇后问题共有" << num << "种解！" << endl;
 23     system("pause");
 24     return 0;
 25 }
 26 // 回溯法
 27 void solve(bool arr[ArSize][ArSize], int row)
 28 {
 29     for (int column = 0; column < ArSize; ++column)
 30     {
 31         arr[row][column] = true;
 32         if (check(arr, row, column))
 33         {
 34             if (row + 1 == ArSize)
 35             {
 36                 outPut(arr);
 37             }
 38             else
 39             {
 40                 solve(arr, row + 1);
 41             }
 42         }
 43         arr[row][column] = false;
 44     }
 45 }
 46 // 判断皇后的落点是否合规
 47 bool check(bool arr[ArSize][ArSize], int row, int column)
 48 {
 49     if (row == 0)
 50     {
 51         return true;
 52     }
 53     int i, j;
 54     // 判断纵向是否有冲突
 55     for (i = 0; i < row; ++i)
 56     {
 57         if (arr[i][column])
 58         {
 59             return false;
 60         }
 61     }
 62     i = row - 1;
 63     j = column - 1;
 64     // 判断正斜对角线是否有冲突
 65     while (i >= 0 && j >= 0)
 66     {
 67         if (arr[i][j])
 68         {
 69             return false;
 70         }
 71         --i;
 72         --j;
 73     }
 74     i = row - 1;
 75     j = column + 1;
 76     // 判断负斜对角线是否有冲突
 77     while (i >= 0 && j <= ArSize - 1)
 78     {
 79         if (arr[i][j])
 80         {
 81             return false;
 82         }
 83         --i;
 84         ++j;
 85     }
 86     return true;
 87 }
 88 // 打印每种正确的解法
 89 void outPut(bool arr[ArSize][ArSize])
 90 {
 91     ++num;
 92     cout << "**********************" << num << "*********************" << endl;
 93     for (int i = 0; i < ArSize; ++i)
 94     {
 95         for (int j = 0; j < ArSize; ++j)
 96         {
 97             cout << arr[i][j] << " ";
 98         }
 99         cout << endl;
100     }
101     cout << "*********************************************" << endl;
102 }

　　输出结果的部分截图如下：

参考资料：

http://www.cnblogs.com/yonggandefeng/p/6275861.html