动态规划(四)矩阵连乘法

所谓矩阵链乘法是指当一些矩阵相乘时,如何加括号来改变乘法顺序从而来降低乘法次数。例如有三个矩阵连乘:A1*A2*A3,其维数分别为:10*100,100*5,5*50.如果按照((A1*A2)A3)来计算的话,求(A1*A2)要10*100*5=5000次乘法,再乘以A3需要10*5*50=2500次乘法,因此总共需要7500次乘法。如果按照(A1(A2*A3))来计算的话,求(A2*A3)要100*5*50=25000次乘法,再乘以A1需要10*100*50=50000次乘法,因此总共需要75000次乘法。可见,按不同的顺序计算,代价相差很大。

矩阵链乘法问题可以表述如下:给定n个矩阵构成的一个链(A1*A2*A3……*An),其中i=1,2,……n,矩阵Ai的维数为p(i-1)*p(i),对于乘积A1*A2*A3……*An以一种最小化标量乘法次数的方式进行加括号。
朴素算法

void mult(int a[MAXN][MAXN],int b[MAXN][MAXN],int c[MAXN][MAXN],int p,int q,int r)  
{  
 int i,j,k; 
 //先对c进行初始化 
 for(i=0;i<p;i++) 
 { 
 for(j=0;j<r;j++) 
 { 
 c[i][j] = 0; 
 } 
 } 
 //计算矩阵乘法 
 for(i=0;i<p;i++) 
 { 
 for(j=0;j<r;j++) 
 { 
 for(k=0;k<q;k++) 
 { 
 c[i][j] += a[i][k] * b[k][j]; 
 } 
 } 
 } 
}  

解决这个问题,我们可以用穷举法,但是n很大时,这不是个好方法,其时间复杂度为指数形式。拿上面的例子来说,加括号后把矩阵链分成了两部分,计算代价为两者代价的和。因此假设这种方法的代价最少,则两个部分的代价也是最小的,如果不是最小的,那么这种方法就不是最优的,因此矩阵链乘法具有最优子结构。因此我们可以利用子问题的最优解来构造原问题的一个最优解。所以,可以把问题分割为两个子问题(A1*A2*A3……*Ak和A(k+1)*A(k+2)*A(k+3)……*An),需找子问题的最优解,然后合并这些问题的最优解。从下面的程序可以看出,其时间复杂度为n*n*n.
算法思路:

  例:设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6,其中各矩阵的维数分别是:

  A1:30*35;     A2:35*15;     A3:15*5;     A4:5*10;     A5:10*20;     A6:20*25 

递推关系:

设计算A[i:j],1≤i≤j≤n,所需要的最少数乘次数m[i,j],则原问题的最优值为m[1,n]。

当i=j时,A[i:j]=Ai,因此,m[i][i]=0,i=1,2,…,n
i<j时,若A[i:j]的最优次序在Ak和Ak+1之间断开,i<=k<j,则:m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。由于在计算是并不知道断开点k的位置,所以k还未定。不过k的位置只有j-i个可能。因此,k是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。

综上,有递推关系如下:
《动态规划(四)矩阵连乘法》

构造最优解:

若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j],在计算出最优值m[i][j]后,可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。s[i][j]中的数表明,计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开,即最优的加括号方式应为(A[i:k])(A[k+1:j)。因此,从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n]),进一步递推,A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在s[s[1][n]+1][n]处断开…照此递推下去,最终可以确定A[1:n]的最优完全加括号方式,及构造出问题的一个最优解。

动态规划迭代实现

用动态规划迭代方式解决此问题,可依据其递归式自底向上的方式进行计算。在计算过程中,保存已解决的子问题的答案。每个子问题只计算一次,而在后面需要时只需简单检查一下,从而避免了大量的重复计算,最终得到多项式时间的算法。

//3d1-2 矩阵连乘 动态规划迭代实现 
//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25 
//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25} 
#include "stdafx.h" 
#include <iostream> 
using namespace std;   

const int L = 7;  

int MatrixChain(int n,int **m,int **s,int *p);   
void Traceback(int i,int j,int **s);//构造最优解 

int main()  
{  
    int p[L]={30,35,15,5,10,20,25};  

    int **s = new int *[L];  
    int **m = new int *[L];  
    for(int i=0;i<L;i++)    
    {    
        s[i] = new int[L];  
        m[i] = new int[L];  
    }   

    cout<<"矩阵的最少计算次数为:"<<MatrixChain(6,m,s,p)<<endl;  
    cout<<"矩阵最优计算次序为:"<<endl;  
    Traceback(1,6,s);  
    return 0;  
}  

int MatrixChain(int n,int **m,int **s,int *p)  
{  
    for(int i=1; i<=n; i++)  
    {  
        m[i][i] = 0;  
    }  
    for(int r=2; r<=n; r++) //r为当前计算的链长(子问题规模) 
    {  
        for(int i=1; i<=n-r+1; i++)//n-r+1为最后一个r链的前边界 
        {  
            int j = i+r-1;//计算前边界为r,链长为r的链的后边界 

            m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];//将链ij划分为A(i) * ( A[i+1:j] ) 

            s[i][j] = i;  

            for(int k=i+1; k<j; k++)  
            {  
                //将链ij划分为( A[i:k] )* (A[k+1:j]) 
                int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];  
                if(t<m[i][j])  
                {  
                    m[i][j] = t;  
                    s[i][j] = k;  
                }  
            }  
        }  
    }  
    return m[1][L-1];  
}  

void Traceback(int i,int j,int **s)  
{  
    if(i==j) return;  
    Traceback(i,s[i][j],s);  
    Traceback(s[i][j]+1,j,s);  
    cout<<"Multiply A"<<i<<","<<s[i][j];  
    cout<<" and A"<<(s[i][j]+1)<<","<<j<<endl;  
} 
    原文作者:动态规划
    原文地址: https://blog.csdn.net/coolwriter/article/details/79917479
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