基本概念
在计算机科学中，二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。
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二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有2i-1个结点；深度为k的二叉树至多有2k-1个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0 = n2 + 1。
树和二叉树的三个主要差别：
树的结点个数至少为1，而二叉树的结点个数可以为0；
树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为2；
树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分。
<完全二叉树和满二叉树>
满二叉树：一棵深度为k，且有2k-1个节点称之为满二叉树
完全二叉树：深度为k，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中，序号为1至n的节点对应时，称之为完全二叉树
图论中的定义
二叉树在图论中是这样定义的：二叉树是一个连通的无环图，并且每一个顶点的度不大于3。有根二叉树还要满足根结点的度不大于2。有了根结点之后，每个顶点定义了唯一的父结点，和最多2个子结点。然而，没有足够的信息来区分左结点和右结点。如果不考虑连通性，允许图中有多个连通分量，这样的结构叫做森林。
二叉树(Binary Tree)的类型
二叉树是一个有根树，并且每个节点最多有2个子节点。非空的二元树，若树叶总数为 n0，分支度为2的总数为 n2，则 n0 = n2 + 1。
一棵深度为k，且有2k-1个节点的二叉树，称为满二叉树（Full Binary Tree）。这种树的特点是每一层上的节点数都是最大节点数。而在一棵二叉树中，除最后一层外，若其馀层都是满的，并且最后一层或者是满的，或者是在右边缺少连续若干节点，则此二叉树为完全二叉树（Complete Binary Tree）。具有n个节点的完全二叉树的深度为log2n+1。深度为k的完全二叉树，至少有2k-1个节点，至多有2k-1个节点。
| 完全二叉树 | 满二叉树 | |
|---|---|---|
| 总节点k | 2h-1<= k < 2h-1 | k = 2h-1 |
| 树高h | h = log2k+1 | h = log2(k+1) |
存储二叉树的方法
在编程语言中能用多种方法来构造二叉树。
顺序存储表示
二叉树可以用数组或线性表来存储，而且如果这是完全二叉树，这种方法不会浪费空间。用这种紧凑排列，如果一个结点的索引为i，它的子结点能在索引2i+1和2i+2找到，并且它的父节点（如果有）能在索引floor((i-1)/2)找到（假设根节点的索引为0）。这种方法更有利于紧凑存储和更好的访问的局部性，特别是在前序遍历中。然而，它需要连续的存储空间，这样在存储高度为h的n个结点组成的一般普通树时将会浪费很多空间。一种最极坏的情况下如果深度为h的二叉树每个节点只有右孩子需要占用2的h次幂减1，而实际却只有h个结点，空间的浪费太大，这是顺序存储结构的一大缺点。
存储结构
/* c6-1.h 二叉树的顺序存储表示 */ #define MAX_TREE_SIZE 100 /* 二叉树的最大结点数 */ typedef TElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; /* 0号单元存储根结点 */ typedef struct { int level,order; /* 结点的层,本层序号(按满二叉树计算) */ }position;
基本操作
/* bo6-1.c 二叉树的顺序存储(存储结构由c6-1.h定义)的基本操作(23个) */ Status InitBiTree(SqBiTree T) { /* 构造空二叉树T。因为T是固定数组，不会改变，故不需要& */ int i; for(i=0;i<MAX_TREE_SIZE;i++) T[i]=Nil; /* 初值为空 */ return OK; } void DestroyBiTree() { /* 由于SqBiTree是定长类型,无法销毁 */ } Status CreateBiTree(SqBiTree T) { /* 按层序次序输入二叉树中结点的值(字符型或整型), 构造顺序存储的二叉树T */ int i=0; #if CHAR int l; char s[MAX_TREE_SIZE]; printf("请按层序输入结点的值(字符)，空格表示空结点，结点数≤%d:\n",MAX_TREE_SIZE); gets(s); /* 输入字符串 */ l=strlen(s); /* 求字符串的长度 */ for(;i<l;i++) /* 将字符串赋值给T */ { T[i]=s[i]; if(i!=0&&T[(i+1)/2-1]==Nil&&T[i]!=Nil) /* 此结点(不空)无双亲且不是根 */ { printf("出现无双亲的非根结点%c\n",T[i]); exit(ERROR); } } for(i=l;i<MAX_TREE_SIZE;i++) /* 将空赋值给T的后面的结点 */ T[i]=Nil; #else printf("请按层序输入结点的值(整型)，0表示空结点，输999结束。结点数≤%d:\n",MAX_TREE_SIZE); while(1) { scanf("%d",&T[i]); if(T[i]==999) break; if(i!=0&&T[(i+1)/2-1]==Nil&&T[i]!=Nil) /* 此结点(不空)无双亲且不是根 */ { printf("出现无双亲的非根结点%d\n",T[i]); exit(ERROR); } i++; } while(i<MAX_TREE_SIZE) { T[i]=Nil; /* 将空赋值给T的后面的结点 */ i++; } #endif return OK; } #define ClearBiTree InitBiTree /* 在顺序存储结构中，两函数完全一样 */ Status BiTreeEmpty(SqBiTree T) { /* 初始条件: 二叉树T存在 */ /* 操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则FALSE */ if(T[0]==Nil) /* 根结点为空,则树空 */ return TRUE; else return FALSE; } int BiTreeDepth(SqBiTree T) { /* 初始条件: 二叉树T存在。操作结果: 返回T的深度 */ int i,j=-1; for(i=MAX_TREE_SIZE-1;i>=0;i--) /* 找到最后一个结点 */ if(T[i]!=Nil) break; i++; /* 为了便于计算 */ do j++; while(i>=pow(2,j)); return j; } Status Root(SqBiTree T,TElemType *e) { /* 初始条件: 二叉树T存在 */ /* 操作结果: 当T不空,用e返回T的根,返回OK;否则返回ERROR,e无定义 */ if(BiTreeEmpty(T)) /* T空 */ return ERROR; else { *e=T[0]; return OK; } } TElemType Value(SqBiTree T,position e) { /* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点(的位置) */ /* 操作结果: 返回处于位置e(层,本层序号)的结点的值 */ return T[(int)pow(2,e.level-1)+e.order-2]; } Status Assign(SqBiTree T,position e,TElemType value) { /* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点(的位置) */ /* 操作结果: 给处于位置e(层,本层序号)的结点赋新值value */ int i=(int)pow(2,e.level-1)+e.order-2; /* 将层、本层序号转为矩阵的序号 */ if(value!=Nil&&T[(i+1)/2-1]==Nil) /* 给叶子赋非空值但双亲为空 */ return ERROR; else if(value==Nil&&(T[i*2+1]!=Nil||T[i*2+2]!=Nil)) /* 给双亲赋空值但有叶子（不空） */ return ERROR; T[i]=value; return OK; } TElemType Parent(SqBiTree T,TElemType e) { /* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */ /* 操作结果: 若e是T的非根结点,则返回它的双亲,否则返回＂空＂ */ int i; if(T[0]==Nil) /* 空树 */ return Nil; for(i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++) if(T[i]==e) /* 找到e */ return T[(i+1)/2-1]; return Nil; /* 没找到e */ } TElemType LeftChild(SqBiTree T,TElemType e) { /* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */ /* 操作结果: 返回e的左孩子。若e无左孩子,则返回＂空＂ */ int i; if(T[0]==Nil) /* 空树 */ return Nil; for(i=0;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++) if(T[i]==e) /* 找到e */ return T[i*2+1]; return Nil; /* 没找到e */ } TElemType RightChild(SqBiTree T,TElemType e) { /* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */ /* 操作结果: 返回e的右孩子。若e无右孩子,则返回＂空＂ */ int i; if(T[0]==Nil) /* 空树 */ return Nil; for(i=0;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++) if(T[i]==e) /* 找到e */ return T[i*2+2]; return Nil; /* 没找到e */ } TElemType LeftSibling(SqBiTree T,TElemType e) { /* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */ /* 操作结果: 返回e的左兄弟。若e是T的左孩子或无左兄弟,则返回＂空＂ */ int i; if(T[0]==Nil) /* 空树 */ return Nil; for(i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++) if(T[i]==e&&i%2==0) /* 找到e且其序号为偶数(是右孩子) */ return T[i-1]; return Nil; /* 没找到e */ } TElemType RightSibling(SqBiTree T,TElemType e) { /* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */ /* 操作结果: 返回e的右兄弟。若e是T的右孩子或无右兄弟,则返回＂空＂ */ int i; if(T[0]==Nil) /* 空树 */ return Nil; for(i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++) if(T[i]==e&&i%2) /* 找到e且其序号为奇数(是左孩子) */ return T[i+1]; return Nil; /* 没找到e */ } void Move(SqBiTree q,int j,SqBiTree T,int i) /* InsertChild()用到。加 */ { /* 把从q的j结点开始的子树移为从T的i结点开始的子树 */ if(q[2*j+1]!=Nil) /* q的左子树不空 */ Move(q,(2*j+1),T,(2*i+1)); /* 把q的j结点的左子树移为T的i结点的左子树 */ if(q[2*j+2]!=Nil) /* q的右子树不空 */ Move(q,(2*j+2),T,(2*i+2)); /* 把q的j结点的右子树移为T的i结点的右子树 */ T[i]=q[j]; /* 把q的j结点移为T的i结点 */ q[j]=Nil; /* 把q的j结点置空 */ } Status InsertChild(SqBiTree T,TElemType p,Status LR,SqBiTree c) { /* 初始条件: 二叉树T存在,p是T中某个结点的值,LR为0或1,非空二叉树c与T */ /* 不相交且右子树为空 */ /* 操作结果: 根据LR为0或1,插入c为T中p结点的左或右子树。p结点的原有左或 */ /* 右子树则成为c的右子树 */ int j,k,i=0; for(j=0;j<(int)pow(2,BiTreeDepth(T))-1;j++) /* 查找p的序号 */ if(T[j]==p) /* j为p的序号 */ break; k=2*j+1+LR; /* k为p的左或右孩子的序号 */ if(T[k]!=Nil) /* p原来的左或右孩子不空 */ Move(T,k,T,2*k+2); /* 把从T的k结点开始的子树移为从k结点的右子树开始的子树 */ Move(c,i,T,k); /* 把从c的i结点开始的子树移为从T的k结点开始的子树 */ return OK; } typedef int QElemType; /* 设队列元素类型为整型(序号) */ #include "c3-3.h" /* 顺序非循环队列 */ #include "bo3-4.c" /* 顺序非循环队列的基本操作 */ Status DeleteChild(SqBiTree T,position p,int LR) { /* 初始条件: 二叉树T存在,p指向T中某个结点,LR为1或0 */ /* 操作结果: 根据LR为1或0,删除T中p所指结点的左或右子树 */ int i; Status k=OK; /* 队列不空的标志 */ SqQueue q; InitQueue(&q); /* 初始化队列，用于存放待删除的结点 */ i=(int)pow(2,p.level-1)+p.order-2; /* 将层、本层序号转为矩阵的序号 */ if(T[i]==Nil) /* 此结点空 */ return ERROR; i=i*2+1+LR; /* 待删除子树的根结点在矩阵中的序号 */ while(k) { if(T[2*i+1]!=Nil) /* 左结点不空 */ EnQueue(&q,2*i+1); /* 入队左结点的序号 */ if(T[2*i+2]!=Nil) /* 右结点不空 */ EnQueue(&q,2*i+2); /* 入队右结点的序号 */ T[i]=Nil; /* 删除此结点 */ k=DeQueue(&q,&i); /* 队列不空 */ } return OK; } Status(*VisitFunc)(TElemType); /* 函数变量 */ void PreTraverse(SqBiTree T,int e) { /* PreOrderTraverse()调用 */ VisitFunc(T[e]); if(T[2*e+1]!=Nil) /* 左子树不空 */ PreTraverse(T,2*e+1); if(T[2*e+2]!=Nil) /* 右子树不空 */ PreTraverse(T,2*e+2); } Status PreOrderTraverse(SqBiTree T,Status(*Visit)(TElemType)) { /* 初始条件: 二叉树存在,Visit是对结点操作的应用函数 */ /* 操作结果: 先序遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次。 */ /* 一旦Visit()失败,则操作失败 */ VisitFunc=Visit; if(!BiTreeEmpty(T)) /* 树不空 */ PreTraverse(T,0); printf("\n"); return OK; } void InTraverse(SqBiTree T,int e) { /* InOrderTraverse()调用 */ if(T[2*e+1]!=Nil) /* 左子树不空 */ InTraverse(T,2*e+1); VisitFunc(T[e]); if(T[2*e+2]!=Nil) /* 右子树不空 */ InTraverse(T,2*e+2); } Status InOrderTraverse(SqBiTree T,Status(*Visit)(TElemType)) { /* 初始条件: 二叉树存在,Visit是对结点操作的应用函数 */ /* 操作结果: 中序遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次。 */ /* 一旦Visit()失败,则操作失败 */ VisitFunc=Visit; if(!BiTreeEmpty(T)) /* 树不空 */ InTraverse(T,0); printf("\n"); return OK; } void PostTraverse(SqBiTree T,int e) { /* PostOrderTraverse()调用 */ if(T[2*e+1]!=Nil) /* 左子树不空 */ PostTraverse(T,2*e+1); if(T[2*e+2]!=Nil) /* 右子树不空 */ PostTraverse(T,2*e+2); VisitFunc(T[e]); } Status PostOrderTraverse(SqBiTree T,Status(*Visit)(TElemType)) { /* 初始条件: 二叉树T存在,Visit是对结点操作的应用函数 */ /* 操作结果: 后序遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次。 */ /* 一旦Visit()失败,则操作失败 */ VisitFunc=Visit; if(!BiTreeEmpty(T)) /* 树不空 */ PostTraverse(T,0); printf("\n"); return OK; } void LevelOrderTraverse(SqBiTree T,Status(*Visit)(TElemType)) { /* 层序遍历二叉树 */ int i=MAX_TREE_SIZE-1,j; while(T[i]==Nil) i--; /* 找到最后一个非空结点的序号 */ for(j=0;j<=i;j++) /* 从根结点起,按层序遍历二叉树 */ if(T[j]!=Nil) Visit(T[j]); /* 只遍历非空的结点 */ printf("\n"); } void Print(SqBiTree T) { /* 逐层、按本层序号输出二叉树 */ int j,k; position p; TElemType e; for(j=1;j<=BiTreeDepth(T);j++) { printf("第%d层: ",j); for(k=1;k<=pow(2,j-1);k++) { p.level=j; p.order=k; e=Value(T,p); if(e!=Nil) printf("%d:%d ",k,e); } printf("\n"); } }
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检验程序
/* main6-1.c 检验bo6-1.c的主程序，利用条件编译选择数据类型为char或int */ /*#define CHAR 1 /* 字符型 */ #define CHAR 0 /* 整型(二者选一) */ #include"c1.h" #if CHAR typedef char TElemType; TElemType Nil=' '; /* 设字符型以空格符为空 */ #else typedef int TElemType; TElemType Nil=0; /* 设整型以0为空 */ #endif #include"c6-1.h" #include"bo6-1.c" Status visit(TElemType e) { printf("%d ",e); return OK; } void main() { Status i; int j; position p; TElemType e; SqBiTree T,s; InitBiTree(T); CreateBiTree(T); printf("建立二叉树后,树空否？%d(1:是 0:否) 树的深度=%d\n",BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T)); i=Root(T,&e); if(i) printf("二叉树的根为：%d\n",e); else printf("树空，无根\n"); printf("层序遍历二叉树:\n"); LevelOrderTraverse(T,visit); printf("中序遍历二叉树:\n"); InOrderTraverse(T,visit); printf("后序遍历二叉树:\n"); PostOrderTraverse(T,visit); printf("请输入待修改结点的层号 本层序号: "); scanf("%d%d",&p.level,&p.order); e=Value(T,p); printf("待修改结点的原值为%d请输入新值: ",e); scanf("%d",&e); Assign(T,p,e); printf("先序遍历二叉树:\n"); PreOrderTraverse(T,visit); printf("结点%d的双亲为%d,左右孩子分别为",e,Parent(T,e)); printf("%d,%d,左右兄弟分别为",LeftChild(T,e),RightChild(T,e)); printf("%d,%d\n",LeftSibling(T,e),RightSibling(T,e)); InitBiTree(s); printf("建立右子树为空的树s:\n"); CreateBiTree(s); printf("树s插到树T中,请输入树T中树s的双亲结点 s为左(0)或右(1)子树: "); scanf("%d%d",&e,&j); InsertChild(T,e,j,s); Print(T); printf("删除子树,请输入待删除子树根结点的层号 本层序号 左(0)或右(1)子树: "); scanf("%d%d%d",&p.level,&p.order,&j); DeleteChild(T,p,j); Print(T); ClearBiTree(T); printf("清除二叉树后,树空否？%d(1:是 0:否) 树的深度=%d\n",BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T)); i=Root(T,&e); if(i) printf("二叉树的根为：%d\n",e); else printf("树空，无根\n"); }
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二叉链表存储表示
基于链表的二叉树逻辑结构示意
在使用记录或内存地址指针的编程语言中，二叉树通常用树结点结构来存储。有时也包含指向唯一的父节点的指针。如果一个结点的子结点个数小于2，一些子结点指针可能为空值，或者为特殊的哨兵结点。 使用链表能避免顺序储存浪费空间的问题，算法和结构相对简单，但使用二叉链表，由于缺乏父链的指引，在找回父节点时需要重新扫描树得知父节点的节点地址。
存储结构
typedef struct BiTNode { TElemType data; struct BiTNode *lchild,*rchild; /* 左右孩子指针 */ }BiTNode,*BiTree;
基本操作
/* bo6-2.c 二叉树的二叉链表存储(存储结构由c6-2.h定义)的基本操作(22个) */ Status InitBiTree(BiTree *T) { /* 操作结果: 构造空二叉树T */ *T=NULL; return OK; } void DestroyBiTree(BiTree *T) { /* 初始条件: 二叉树T存在。操作结果: 销毁二叉树T */ if(*T) /* 非空树 */ { if((*T)->lchild) /* 有左孩子 */ DestroyBiTree(&(*T)->lchild); /* 销毁左孩子子树 */ if((*T)->rchild) /* 有右孩子 */ DestroyBiTree(&(*T)->rchild); /* 销毁右孩子子树 */ free(*T); /* 释放根结点 */ *T=NULL; /* 空指针赋0 */ } } void CreateBiTree(BiTree *T) { /* 算法6.4:按先序次序输入二叉树中结点的值（可为字符型或整型，在主程中 */ /* 定义），构造二叉链表表示的二叉树T。变量Nil表示空（子）树。有改动 */ TElemType ch; #ifdef CHAR scanf("%c",&ch); #endif #ifdef INT scanf("%d",&ch); #endif if(ch==Nil) /* 空 */ *T=NULL; else { *T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); if(!*T) exit(OVERFLOW); (*T)->data=ch; /* 生成根结点 */ CreateBiTree(&(*T)->lchild); /* 构造左子树 */ CreateBiTree(&(*T)->rchild); /* 构造右子树 */ } } Status BiTreeEmpty(BiTree T) { /* 初始条件: 二叉树T存在 */ /* 操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则FALSE */ if(T) return FALSE; else return TRUE; } #define ClearBiTree DestroyBiTree int BiTreeDepth(BiTree T) { /* 初始条件: 二叉树T存在。操作结果: 返回T的深度 */ int i,j; if(!T) return 0; if(T->lchild) i=BiTreeDepth(T->lchild); else i=0; if(T->rchild) j=BiTreeDepth(T->rchild); else j=0; return i>j?i+1:j+1; } TElemType Root(BiTree T) { /* 初始条件: 二叉树T存在。操作结果: 返回T的根 */ if(BiTreeEmpty(T)) return Nil; else return T->data; } TElemType Value(BiTree p) { /* 初始条件: 二叉树T存在，p指向T中某个结点 */ /* 操作结果: 返回p所指结点的值 */ return p->data; } void Assign(BiTree p,TElemType value) { /* 给p所指结点赋值为value */ p->data=value; } typedef BiTree QElemType; /* 设队列元素为二叉树的指针类型 */ #include"c3-2.h" #include"bo3-2.c" TElemType Parent(BiTree T,TElemType e) { /* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */ /* 操作结果: 若e是T的非根结点,则返回它的双亲,否则返回＂空＂ */ LinkQueue q; QElemType a; if(T) /* 非空树 */ { InitQueue(&q); /* 初始化队列 */ EnQueue(&q,T); /* 树根入队 */ while(!QueueEmpty(q)) /* 队不空 */ { DeQueue(&q,&a); /* 出队,队列元素赋给a */ if(a->lchild&&a->lchild->data==e||a->rchild&&a->rchild->data==e) /* 找到e(是其左或右孩子) */ return a->data; /* 返回e的双亲的值 */ else /* 没找到e,则入队其左右孩子指针(如果非空) */ { if(a->lchild) EnQueue(&q,a->lchild); if(a->rchild) EnQueue(&q,a->rchild); } } } return Nil; /* 树空或没找到e */ } BiTree Point(BiTree T,TElemType s) { /* 返回二叉树T中指向元素值为s的结点的指针。另加 */ LinkQueue q; QElemType a; if(T) /* 非空树 */ { InitQueue(&q); /* 初始化队列 */ EnQueue(&q,T); /* 根结点入队 */ while(!QueueEmpty(q)) /* 队不空 */ { DeQueue(&q,&a); /* 出队,队列元素赋给a */ if(a->data==s) return a; if(a->lchild) /* 有左孩子 */ EnQueue(&q,a->lchild); /* 入队左孩子 */ if(a->rchild) /* 有右孩子 */ EnQueue(&q,a->rchild); /* 入队右孩子 */ } } return NULL; } TElemType LeftChild(BiTree T,TElemType e) { /* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */ /* 操作结果: 返回e的左孩子。若e无左孩子,则返回＂空＂ */ BiTree a; if(T) /* 非空树 */ { a=Point(T,e); /* a是结点e的指针 */ if(a&&a->lchild) /* T中存在结点e且e存在左孩子 */ return a->lchild->data; /* 返回e的左孩子的值 */ } return Nil; /* 其余情况返回空 */ } TElemType RightChild(BiTree T,TElemType e) { /* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */ /* 操作结果: 返回e的右孩子。若e无右孩子,则返回＂空＂ */ BiTree a; if(T) /* 非空树 */ { a=Point(T,e); /* a是结点e的指针 */ if(a&&a->rchild) /* T中存在结点e且e存在右孩子 */ return a->rchild->data; /* 返回e的右孩子的值 */ } return Nil; /* 其余情况返回空 */ } TElemType LeftSibling(BiTree T,TElemType e) { /* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */ /* 操作结果: 返回e的左兄弟。若e是T的左孩子或无左兄弟,则返回＂空＂ */ TElemType a; BiTree p; if(T) /* 非空树 */ { a=Parent(T,e); /* a为e的双亲 */ p=Point(T,a); /* p为指向结点a的指针 */ if(p->lchild&&p->rchild&&p->rchild->data==e) /* p存在左右孩子且右孩子是e */ return p->lchild->data; /* 返回p的左孩子(e的左兄弟) */ } return Nil; /* 树空或没找到e的左兄弟 */ } TElemType RightSibling(BiTree T,TElemType e) { /* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */ /* 操作结果: 返回e的右兄弟。若e是T的右孩子或无右兄弟,则返回＂空＂ */ TElemType a; BiTree p; if(T) /* 非空树 */ { a=Parent(T,e); /* a为e的双亲 */ p=Point(T,a); /* p为指向结点a的指针 */ if(p->lchild&&p->rchild&&p->lchild->data==e) /* p存在左右孩子且左孩子是e */ return p->rchild->data; /* 返回p的右孩子(e的右兄弟) */ } return Nil; /* 树空或没找到e的右兄弟 */ } Status InsertChild(BiTree p,int LR,BiTree c) /* 形参T无用 */ { /* 初始条件: 二叉树T存在,p指向T中某个结点,LR为0或1,非空二叉树c与T */ /* 不相交且右子树为空 */ /* 操作结果: 根据LR为0或1,插入c为T中p所指结点的左或右子树。p所指结点的 */ /* 原有左或右子树则成为c的右子树 */ if(p) /* p不空 */ { if(LR==0) { c->rchild=p->lchild; p->lchild=c; } else /* LR==1 */ { c->rchild=p->rchild; p->rchild=c; } return OK; } return ERROR; /* p空 */ } Status DeleteChild(BiTree p,int LR) /* 形参T无用 */ { /* 初始条件: 二叉树T存在,p指向T中某个结点,LR为0或1 */ /* 操作结果: 根据LR为0或1,删除T中p所指结点的左或右子树 */ if(p) /* p不空 */ { if(LR==0) /* 删除左子树 */ ClearBiTree(&p->lchild); else /* 删除右子树 */ ClearBiTree(&p->rchild); return OK; } return ERROR; /* p空 */ } void PreOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType)) { /* 初始条件: 二叉树T存在,Visit是对结点操作的应用函数。算法6.1，有改动 */ /* 操作结果: 先序递归遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次 */ if(T) /* T不空 */ { Visit(T->data); /* 先访问根结点 */ PreOrderTraverse(T->lchild,Visit); /* 再先序遍历左子树 */ PreOrderTraverse(T->rchild,Visit); /* 最后先序遍历右子树 */ } } void InOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType)) { /* 初始条件: 二叉树T存在,Visit是对结点操作的应用函数 */ /* 操作结果: 中序递归遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次 */ if(T) { InOrderTraverse(T->lchild,Visit); /* 先中序遍历左子树 */ Visit(T->data); /* 再访问根结点 */ InOrderTraverse(T->rchild,Visit); /* 最后中序遍历右子树 */ } } typedef BiTree SElemType; /* 设栈元素为二叉树的指针类型 */ #include"c3-1.h" #include"bo3-1.c" Status InOrderTraverse1(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType)) { /* 采用二叉链表存储结构，Visit是对数据元素操作的应用函数。算法6.3 */ /* 中序遍历二叉树T的非递归算法(利用栈)，对每个数据元素调用函数Visit */ SqStack S; InitStack(&S); while(T||!StackEmpty(S)) { if(T) { /* 根指针进栈,遍历左子树 */ Push(&S,T); T=T->lchild; } else { /* 根指针退栈,访问根结点,遍历右子树 */ Pop(&S,&T); if(!Visit(T->data)) return ERROR; T=T->rchild; } } printf("\n"); return OK; } Status InOrderTraverse2(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType)) { /* 采用二叉链表存储结构，Visit是对数据元素操作的应用函数。算法6.2 */ /* 中序遍历二叉树T的非递归算法(利用栈)，对每个数据元素调用函数Visit */ SqStack S; BiTree p; InitStack(&S); Push(&S,T); /* 根指针进栈 */ while(!StackEmpty(S)) { while(GetTop(S,&p)&&p) Push(&S,p->lchild); /* 向左走到尽头 */ Pop(&S,&p); /* 空指针退栈 */ if(!StackEmpty(S)) { /* 访问结点,向右一步 */ Pop(&S,&p); if(!Visit(p->data)) return ERROR; Push(&S,p->rchild); } } printf("\n"); return OK; } void PostOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType)) { /* 初始条件: 二叉树T存在,Visit是对结点操作的应用函数 */ /* 操作结果: 后序递归遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次 */ if(T) /* T不空 */ { PostOrderTraverse(T->lchild,Visit); /* 先后序遍历左子树 */ PostOrderTraverse(T->rchild,Visit); /* 再后序遍历右子树 */ Visit(T->data); /* 最后访问根结点 */ } } void LevelOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType)) { /* 初始条件：二叉树T存在,Visit是对结点操作的应用函数 */ /* 操作结果：层序递归遍历T(利用队列),对每个结点调用函数Visit一次且仅一次 */ LinkQueue q; QElemType a; if(T) { InitQueue(&q); EnQueue(&q,T); while(!QueueEmpty(q)) { DeQueue(&q,&a); Visit(a->data); if(a->lchild!=NULL) EnQueue(&q,a->lchild); if(a->rchild!=NULL) EnQueue(&q,a->rchild); } printf("\n"); } }
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检验程序
/* main6-2.c 检验bo6-2.c的主程序,利用条件编译选择数据类型(另一种方法) */ #define CHAR /* 字符型 */ /* #define INT /* 整型（二者选一） */ #include"c1.h" #ifdef CHAR typedef char TElemType; TElemType Nil=' '; /* 字符型以空格符为空 */ #endif #ifdef INT typedef int TElemType; TElemType Nil=0; /* 整型以0为空 */ #endif #include"c6-2.h" #include"bo6-2.c" Status visitT(TElemType e) { #ifdef CHAR printf("%c ",e); #endif #ifdef INT printf("%d ",e); #endif return OK; } void main() { int i; BiTree T,p,c; TElemType e1,e2; InitBiTree(&T); printf("构造空二叉树后,树空否？%d(1:是 0:否) 树的深度=%d\n",BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T)); e1=Root(T); if(e1!=Nil) #ifdef CHAR printf("二叉树的根为: %c\n",e1); #endif #ifdef INT printf("二叉树的根为: %d\n",e1); #endif else printf("树空，无根\n"); #ifdef CHAR printf("请先序输入二叉树(如:ab三个空格表示a为根结点,b为左子树的二叉树)\n"); #endif #ifdef INT printf("请先序输入二叉树(如:1 2 0 0 0表示1为根结点,2为左子树的二叉树)\n"); #endif CreateBiTree(&T); printf("建立二叉树后,树空否？%d(1:是 0:否) 树的深度=%d\n",BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T)); e1=Root(T); if(e1!=Nil) #ifdef CHAR printf("二叉树的根为: %c\n",e1); #endif #ifdef INT printf("二叉树的根为: %d\n",e1); #endif else printf("树空，无根\n"); printf("中序递归遍历二叉树:\n"); InOrderTraverse(T,visitT); printf("\n中序非递归遍历二叉树:\n"); InOrderTraverse1(T,visitT); printf("中序非递归遍历二叉树(另一种方法):\n"); InOrderTraverse2(T,visitT); printf("后序递归遍历二叉树:\n"); PostOrderTraverse(T,visitT); printf("\n层序遍历二叉树:\n"); LevelOrderTraverse(T,visitT); printf("请输入一个结点的值: "); #ifdef CHAR scanf("%*c%c",&e1); #endif #ifdef INT scanf("%d",&e1); #endif p=Point(T,e1); /* p为e1的指针 */ #ifdef CHAR printf("结点的值为%c\n",Value(p)); #endif #ifdef INT printf("结点的值为%d\n",Value(p)); #endif printf("欲改变此结点的值，请输入新值: "); #ifdef CHAR scanf("%*c%c%*c",&e2); #endif #ifdef INT scanf("%d",&e2); #endif Assign(p,e2); printf("层序遍历二叉树:\n"); LevelOrderTraverse(T,visitT); e1=Parent(T,e2); if(e1!=Nil) #ifdef CHAR printf("%c的双亲是%c\n",e2,e1); #endif #ifdef INT printf("%d的双亲是%d\n",e2,e1); #endif else #ifdef CHAR printf("%c没有双亲\n",e2); #endif #ifdef INT printf("%d没有双亲\n",e2); #endif e1=LeftChild(T,e2); if(e1!=Nil) #ifdef CHAR printf("%c的左孩子是%c\n",e2,e1); #endif #ifdef INT printf("%d的左孩子是%d\n",e2,e1); #endif else #ifdef CHAR printf("%c没有左孩子\n",e2); #endif #ifdef INT printf("%d没有左孩子\n",e2); #endif e1=RightChild(T,e2); if(e1!=Nil) #ifdef CHAR printf("%c的右孩子是%c\n",e2,e1); #endif #ifdef INT printf("%d的右孩子是%d\n",e2,e1); #endif else #ifdef CHAR printf("%c没有右孩子\n",e2); #endif #ifdef INT printf("%d没有右孩子\n",e2); #endif e1=LeftSibling(T,e2); if(e1!=Nil) #ifdef CHAR printf("%c的左兄弟是%c\n",e2,e1); #endif #ifdef INT printf("%d的左兄弟是%d\n",e2,e1); #endif else #ifdef CHAR printf("%c没有左兄弟\n",e2); #endif #ifdef INT printf("%d没有左兄弟\n",e2); #endif e1=RightSibling(T,e2); if(e1!=Nil) #ifdef CHAR printf("%c的右兄弟是%c\n",e2,e1); #endif #ifdef INT printf("%d的右兄弟是%d\n",e2,e1); #endif else #ifdef CHAR printf("%c没有右兄弟\n",e2); #endif #ifdef INT printf("%d没有右兄弟\n",e2); #endif InitBiTree(&c); printf("构造一个右子树为空的二叉树c:\n"); #ifdef CHAR printf("请先序输入二叉树(如:ab三个空格表示a为根结点,b为左子树的二叉树)\n"); #endif #ifdef INT printf("请先序输入二叉树(如:1 2 0 0 0表示1为根结点,2为左子树的二叉树)\n"); #endif CreateBiTree(&c); printf("先序递归遍历二叉树c:\n"); PreOrderTraverse(c,visitT); printf("\n树c插到树T中,请输入树T中树c的双亲结点 c为左(0)或右(1)子树: "); #ifdef CHAR scanf("%*c%c%d",&e1,&i); #endif #ifdef INT scanf("%d%d",&e1,&i); #endif p=Point(T,e1); /* p是T中树c的双亲结点指针 */ InsertChild(p,i,c); printf("先序递归遍历二叉树:\n"); PreOrderTraverse(T,visitT); printf("\n删除子树,请输入待删除子树的双亲结点 左(0)或右(1)子树: "); #ifdef CHAR scanf("%*c%c%d",&e1,&i); #endif #ifdef INT scanf("%d%d",&e1,&i); #endif p=Point(T,e1); DeleteChild(p,i); printf("先序递归遍历二叉树:\n"); PreOrderTraverse(T,visitT); printf("\n"); DestroyBiTree(&T); }
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编程实践
TOJ1222: 数据结构练习题——先序遍历二叉树
#include <stdio.h> #include <string.h> #include <ctype.h> #include <math.h> int BiTree[10000]; void PreTraverse(int T[], int e) //递归先序遍历二叉树T中序号为e的子树 { printf(" %d",T[e]); //访问树T中序号为e的节点 if(T[2*e+1]!=0) PreTraverse(T,2*e+1); //序号为e的节点的左子树不空 if(T[2*e+2]!=0) PreTraverse(T,2*e+2); //序号为e的节点的右子树不空 } void PreOrderTraverse(int T[]) { PreTraverse(T,0); //递归先序遍历树T中序号为0的树 printf("\n"); } int TreeDeep(int T[], int n) { int i; for(i=n-1; i>=0; i--) { if(T[i]!=0) break; } return (int)(log(i+1)/log(2)+1.1); } int main() { int n,t,i; scanf("%d",&n); while(n--) { i=0; while(scanf("%d",&t) && t!=-1) { BiTree[i++]=t; } printf("%d",TreeDeep(BiTree,i)); PreOrderTraverse(BiTree); } return 0; }
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TOJ1223: 数据结构练习题——中序遍历二叉树
#include <stdio.h> #include <string.h> #include <ctype.h> #include <math.h> int BiTree[10000]; void InTraverse(int T[], int e) { if(T[2*e+1]!=0) InTraverse(T,2*e+1); printf(" %d",T[e]); if(T[2*e+2]!=0) InTraverse(T,2*e+2); } void InOrderTraverse(int T[]) { InTraverse(T,0); printf("\n"); } int TreeDeep(int T[], int n) { int i; for(i=n-1; i>=0; i--) { if(T[i]!=0) break; } return (int)(log(i+1)/log(2)+1.1); } int main() { int n,t,i; scanf("%d",&n); while(n--) { i=0; while(scanf("%d",&t) && t!=-1) { BiTree[i++]=t; } printf("%d",TreeDeep(BiTree,i)); InOrderTraverse(BiTree); } return 0; }
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TOJ1224: 数据结构练习题——后序遍历二叉树
#include <stdio.h> #include <string.h> #include <ctype.h> #include <math.h> int BiTree[10000]; void PostTraverse(int T[], int e) { if(T[2*e+1]!=0) PostTraverse(T,2*e+1); if(T[2*e+2]!=0) PostTraverse(T,2*e+2); printf(" %d",T[e]); } void PostOrderTraverse(int T[]) { PostTraverse(T,0); printf("\n"); } int TreeDeep(int T[], int n) { int i; for(i=n-1; i>=0; i--) { if(T[i]!=0) break; } return (int)(log(i+1)/log(2)+1.1); } int main() { int n,t,i; scanf("%d",&n); while(n--) { i=0; while(scanf("%d",&t) && t!=-1) { BiTree[i++]=t; } printf("%d",TreeDeep(BiTree,i)); PostOrderTraverse(BiTree); } return 0; }
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