高等代数 多项式环(第7章)3 一元多项式的根与不可约多项式

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一.一元多项式的根与复数域上的不可约多项式(7.6)
1.一元多项式的一次因式
(1)余数定理:

定理1:在 K [ x ] K[x] K[x]中,用 x − a x-a xa去除 f ( x ) f(x) f(x)所得的余式是 f ( a ) f(a) f(a)
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推论1:在 K [ x ] K[x] K[x]中, x − a   ∣   f ( x ) ⇔ f ( a ) = 0 x-a\,|\,f(x)⇔f(a)=0 xaf(x)f(a)=0

(2)多项式的根:
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(3)Bezout定理:

定理2:在 K [ x ] K[x] K[x]中, x − a x-a xa f ( x ) f(x) f(x)的一次因式当且仅当 a a a f ( x ) f(x) f(x) K K K中的1个根

(4)一次因式的存在性:
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2.一元多项式的根的个数
(1)一元多项式的根的个数的上限:

定理3: K [ x ] K[x] K[x]中的 n ≥ 0 n≥0 n0次多项式 f ( x ) f(x) f(x) K K K中至多有 n n n个根(重根按重数计算)
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(2)根的个数与函数相等的关系:

定理4:在 K [ x ] K[x] K[x]中,设 f ( x ) f(x) f(x) g ( x ) g(x) g(x)的次数都不超过 n n n,如果 K K K中有 n + 1 n+1 n+1个不同的数 c 1 , c 2 . . . c n + 1 c_1,c_2…c_{n+1} c1,c2...cn+1,使得 f ( c i ) = g ( c i )   ( i = 1 , 2… n + 1 ) f(c_i)=g(c_i)\,(i=1,2…n+1) f(ci)=g(ci)(i=1,2...n+1)那么 f ( x ) = g ( x ) f(x)=g(x) f(x)=g(x)
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3.多项式诱导的多项式函数
(1)概念:
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(2)性质:

定理5:数域 K K K上的2个多项式 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)如果不相等,那么它们诱导的多项式函数 f , g f,g f,g也不相等
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推论: f = g ⇔ f ( x ) = g ( x ) f=g⇔f(x)=g(x) f=gf(x)=g(x)
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(3)同构:
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4.复数域上的不可约多项式
(1)代数基本定理:
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定理6:每个次数大于0的复系数多项式至少有1个复根
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推论1:复数域上的不可约多项式只有一次多项式

(2)复系数多项式唯一因式分解定理:

定理7:每个次数大于0的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积
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推论1:每个 n ≥ 0 n≥0 n0次复系数多项式恰有 n n n个复根(重根按重数计算)
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定理7在 λ − λ- λ矩阵的相抵的判定上的应用参见附录

(3)Vieta公式:
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5.插值问题
(1)差值多项式:
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(2)插值多项式的存在性与求法:

定理11:设 c 0 , c 1 . . . c n c_0,c_1…c_n c0,c1...cn是数域 K K K n + 1 n+1 n+1个不同的数, d 0 , d 1 . . . d n ∈ K d_0,d_1…d_n∈K d0,d1...dnK,则 K [ x ] K[x] K[x]中存在唯一的1个次数不超过 n n n的多项式 f ( x ) f(x) f(x)使得 f ( c i ) = d i   ( i = 0 , 1… n ) f(c_i)=d_i\,(i=0,1…n) f(ci)=di(i=0,1...n)
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二.实数域上的不可约多项式与实数系多项式的根(7.7)
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1.实数域上的不可约多项式
(1)实系数多项式的复根:

定理12:设 f ( x ) f(x) f(x)是实系数多项式,如果 c c c f ( x ) f(x) f(x)的1个复根,那么其共轭复数 c ˉ \bar c cˉ也是 f ( x ) f(x) f(x)的1个复根
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(2)实数域上的不可约多项式:

定理13:实数域上的不可约多项式有且只有1次多项式和判别式小于0的2次多项式
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(3)实系数多项式唯一因式分解定理:

定理14:每个次数大于0的实系数多项式 f ( x ) f(x) f(x)在实数域上都可以唯一地分解成1次因式与判别式小于0的2次因式的乘积,即 f ( x ) = a ( x − c 1 ) r 1 . . . ( x − c s ) r s ( x 2 + p 1 x + q 1 ) k 1 . . . ( x 2 + p t x + q t ) k t ( 1 ) f(x)=a(x-c_1)^{r_1}…(x-c_s)^{r_s}(x^2+p_1x+q_1)^{k_1}…(x^2+p_tx+q_t)^{k_t}\qquad(1) f(x)=a(xc1)r1...(xcs)rs(x2+p1x+q1)k1...(x2+ptx+qt)kt(1)其中 a a a f ( x ) f(x) f(x)的首项系数; c 1 . . . c s c_1…c_s c1...cs是两两不等的实数; ( p 1 , q 1 ) . . . ( p t , q t ) (p_1,q_1)…(p_t,q_t) (p1,q1)...(pt,qt)是不同的实数对,且满足 p i 2 − 4 q i < 0   ( i = 1 , 2… t ) ; r 1 . . . r s , k 1 . . . k t p_i^2-4q_i<0\,(i=1,2…t);r_1…r_s,k_1…k_t pi24qi<0(i=1,2...t);r1...rs,k1...kt都是非负整数
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推论1:实系数的奇次多项式至少有1个实根

2.实系数多项式的实根
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(1)根的分布范围:
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定理15:设 f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 1 x + a 0 f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0 f(x)=anxn+an1xn1+...+a1x+a0是1个复系数多项式,其次数 n ≥ 1 n≥1 n1;令 M = m a x { ∣ a n − 1 ∣ , ∣ a n − 2 ∣ . . . ∣ a 0 ∣ } ( 2 ) M=max\{|a_{n-1}|,|a_{n-2}|…|a_0|\}\qquad(2) M=max{ an1,an2...a0}(2)则当 ∣ z ∣ ≥ 1 + M ∣ a n ∣ |z|≥1+\frac{M}{|a_n|} z1+anM时,有 ∣ f ( z ) > 0 ∣ |f(z)>0| f(z)>0
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推论1:设 f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 1 x + a 0 f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0 f(x)=anxn+an1xn1+...+a1x+a0是1个实系数多项式,其次数 n ≥ 1 n≥1 n1;令 M = m a x { ∣ a n − 1 ∣ , ∣ a n − 2 ∣ . . . ∣ a 0 ∣ } M=max\{|a_{n-1}|,|a_{n-2}|…|a_0|\} M=max{ an1,an2...a0} f ( x ) f(x) f(x)的实根全都在区间 ( − 1 − M ∣ a n ∣ , 1 + M ∣ a n ∣ ) (-1-\frac{M}{|a_n|},1+\frac{M}{|a_n|}) (1anM,1+anM)
推论2:设 f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 1 x + a 0 f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0 f(x)=anxn+an1xn1+...+a1x+a0是1个次数大于0的实系数多项式,则对一切充分大的正数 r , f ( r ) r,f(r) r,f(r)的符号与 a n r n a_nr^n anrn相同
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(2)求解实根:
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定理16(Saturn定理):设 f ( x ) f(x) f(x)是1个次数大于0的实系数多项式,对 f ( x ) , f ‘ ( x ) f(x),f‘(x) f(x),f(x)做下述经过略微修改的辗转相除法: f ( x ) = q 1 ( x ) f ′ ( x ) − f 2 ( x )   ( d e g   f 2 ( x ) < d e g   f ′ ( x ) ) f ′ ( x ) = q 2 ( x ) f 2 ( x ) − f 3 ( x )   ( d e g   f 3 ( x ) < d e g   f 2 ( x ) ) . . . . . f s − 1 ( x ) = q s ( x ) f s ( x ) ( 4 ) \begin{matrix}f(x)=q_1(x)f'(x)-f_2(x)\,(deg\,f_2(x)<deg\,f'(x))\\f'(x)=q_2(x)f_2(x)-f_3(x)\,(deg\,f_3(x)<deg\,f_2(x))\\…..\\f_{s-1}(x)=q_s(x)f_s(x)\end{matrix}\qquad(4) f(x)=q1(x)f(x)f2(x)(degf2(x)<degf(x))f(x)=q2(x)f2(x)f3(x)(degf3(x)<degf2(x)).....fs1(x)=qs(x)fs(x)(4)由此得到1个多项式序列: f 0 = f , f 1 = f ′ , f 2 , f 3 . . . f s ( 5 ) f_0=f,f_1=f’,f_2,f_3…f_s\qquad(5) f0=f,f1=f,f2,f3...fs(5)称序列(5)是 f ( x ) f(x) f(x)标准序列;假设区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]使 f ( a ) ≠ 0 , f ( b ) ≠ 0 f(a)≠0,f(b)≠0 f(a)=0,f(b)=0,则 f ( c ) f(c) f(c)在区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内的不同实根的个数等于 V a − V b V_a-V_b VaVb,其中 V c V_c Vc表示序列 f 0 ( c ) , f 1 ( c ) . . . f s ( c ) f_0(c),f_1(c)…f_s(c) f0(c),f1(c)...fs(c)的变号数
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三.有理数域上的不可约多项式(7.8)
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1.本原多项式
(1)定义:
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(2)本原多项式的性质:

性质1:2个本原多项式 g ( x ) , h ( x ) g(x),h(x) g(x),h(x) Q [ x ] Q[x] Q[x]中相伴当且仅当 g ( x ) = ± h ( x ) g(x)=±h(x) g(x)=±h(x)
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性质2(高斯引理(Gauss Lemma)):2个本原多项式的乘积还是本原多项式
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性质3:1个次数大于0的本原多项式 g ( x ) g(x) g(x) Q Q Q上可约当且仅当 g ( x ) g(x) g(x)能分解成2个次数较低的本原多项式的乘积
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推论1:1个次数大于0的整系数多项式 f ( x ) f(x) f(x) Q Q Q上可约当且仅当 f ( x ) f(x) f(x)能分解成2个次数较低的整系数多项式的乘积
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性质4:每个次数大于0的本原多项式 g ( x ) g(x) g(x)可以唯一地分解成 Q Q Q上不可约的本原多项式的乘积;唯一性是指,如果 g ( x ) g(x) g(x)有2个这样的分解式: g ( x ) = p 1 ( x ) p 2 ( x ) . . . p s ( x ) = q 1 ( x ) q 2 ( x ) . . . q t ( x ) g(x)=p_1(x)p_2(x)…p_s(x)=q_1(x)q_2(x)…q_t(x) g(x)=p1(x)p2(x)...ps(x)=q1(x)q2(x)...qt(x) s = t s=t s=t,且适当排列因式的次序后,有 p i ( x ) = ± q i ( x )   ( i = 1 , 2… s ) p_i(x)=±q_i(x)\,(i=1,2…s) pi(x)=±qi(x)(i=1,2...s)
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2.整系数多项式的有理数根:
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定理17:设 f ( x ) = a n x n + . . . a 1 x + a 0 f(x)=a_nx^n+…a_1x+a_0 f(x)=anxn+...a1x+a0是1个次数大于0的整系数多项式,如果 q p \frac{q}{p} pq f ( x ) f(x) f(x)的1个有理根,其中 p , q p,q p,q是互素的整数,那么 p   ∣   a n . q   ∣   a 0 p\,|\,a_n.q\,|\,a_0 pan.qa0
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3.整系数多项式在 Q Q Q上不可约的判别方法
(1)2/3次整系数多项式在 Q Q Q上不可约的判定:
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(2)本原多项式在 Q Q Q上不可约的判定:
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定理18(Eisenstein判别法):设 f ( x ) = a n x n + . . . + a 1 x + a 0 f(x)=a_nx^n+…+a_1x+a_0 f(x)=anxn+...+a1x+a0是1个次数 n > 0 n>0 n>0的本原多项式,如果存在1个素数 p p p,使得 ① p   ∣   a i   ( i = 1 , 2… n − 1 ) ② p ∤   a n     ③ p 2 ∤   a 0   ①p\,|\,a_i\,(i=1,2…n-1)\\②p\not|\:a_n\qquad\qquad\qquad\:\:\:\\③p^2\not|\:a_0\qquad\qquad\qquad\, pai(i=1,2...n1)panp2a0
那么 f ( x ) f(x) f(x) Q Q Q上不可约
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推论1:在 Q [ x ] Q[x] Q[x]中存在任意次的不可约多项式
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定理19:设 f ( x ) = a n x n + . . . + a 1 x + a 0 f(x)=a_nx^n+…+a_1x+a_0 f(x)=anxn+...+a1x+a0是1个次数 n > 0 n>0 n>0的整系数多项式,如果存在1个素数 p p p,使得 p   ∣   a i   ( i = 1 , 2… n ) , p ∤   a 0 , p 2 ∤   a n p\,|\,a_i\,(i=1,2…n),p\not|\,a_0,p^2\not|\,a_n pai(i=1,2...n),pa0,p2an那么 f ( x ) f(x) f(x) Q Q Q上不可约
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附录.定理7在 λ − λ- λ矩阵的相抵的判定上的应用

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定理8: C [ λ ] C[λ] C[λ]上2个 n n n级满秩矩阵相抵的充要条件是它们有相同的初等因子
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定理9:设 A , B A,B A,B是数域 K K K上的 n n n级矩阵,如果它们的特征多项式在 K [ λ ] K[λ] K[λ]中都能分解成1次因式方幂的乘积,那么 λ I − A , λ I − B λI-A,λI-B λIA,λIB相抵的充要条件是它们有相同的初等因子
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定理10:设 A ( λ ) A(λ) A(λ) C [ λ ] C[λ] C[λ]上的 n n n级满秩矩阵,通过初等变换把 A ( λ ) A(λ) A(λ)化成对角矩阵,然后把主对角线上每个次数大于0的多项式分解成互不相同的1次因式方幂的乘积,那么所有这些1次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是 A ( λ ) A(λ) A(λ)的初等因子
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    原文作者:EdVzAs
    原文地址: https://blog.csdn.net/weixin_46131409/article/details/108025083
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