问题介绍:在n*n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。由于皇后可以攻击与之处于同一行或同一列或在同一斜线上的棋子。n皇后问题等价于在n*n的棋盘上放置n个皇后,任何两个皇后不放在同一列或同一行或同一斜线上。
分析:用n元组x[1:n]表示n皇后问题的解。其中,x[i]表示皇后i放在棋盘的第i行的第x[i]列。将n*n的棋盘看做二维方阵,其行号从上到下,列号从左到右依次编号1,2,3,4..n,从棋盘的左上角到右下角的主对角线及其平行线上,2个下标值的差值相等。同理,斜率为+1的每一条斜线上,2个下标值的和值相等。因此,若两个皇后放置的位置分别是(i,j)和(k,l),且i-j=k-l或i+j=k+l,则说明这两个皇后处于同一斜线上。以上两个方程分别等价于i-k=j-l和i-k=l-j。由此可知只要|i-k|=|j-l|成立,就表明2个皇后位于同一条斜线上。
代码:
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <math.h>
#define N 8 //皇后个数
using namespace std;
int sum=0;
bool Place(int k,int i,int *x);
void NQueens(int k,int n,int *x);;
void NQueens(int n,int *x);
int main()
{
int x[N];
for(int i=0;i<N;i++) x[i]=-1;
NQueens(N,x);
cout<<N<<"皇后共有"<<sum<<"种解!"<<endl;
return 0;
}
bool Place(int k,int i,int *x) //判定两个皇后是否在同一列或在同一斜线上
{
for (int j=0;j<k;j++)
if ((x[j]==i)||(abs(x[j] -i)==abs(j-k))) return false;
return true;
}
void NQueens(int k,int n,int *x)
{
for (int i=0;i<n;i++)
{
if(Place(k,i,x))
{
x[k]=i;
if (k==n-1) //输出所有可行解
{
sum++;
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(j==x[i])
cout<<" #";
else
cout<<" _";
}
cout<<endl;
}
cout<<endl;
}
else
{
NQueens(k+1,n,x);
}
}
}
}
void NQueens(int n,int *x)
{
NQueens(0,n,x);
}
运行截图:
其中#代表皇后