自动控制原理:如何用折线式伯德图计算截止频率?

在自动控制原理课程中,利用折线式伯德图计算截止频率是很常见的题型,下面介绍两种做法。

对于以下传递函数:
G ( s ) = 50 s 2 ( s 2 + s + 1 ) ( 10 s + 1 ) = G 1 ( s ) G 2 ( s ) G 3 ( s ) G 4 ( s ) G 5 ( s ) {G(s)=\frac{50}{s^2(s^2+s+1)(10s+1)}=G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s)} G(s)=s2(s2+s+1)(10s+1)50=G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)
其中:
G 1 ( s ) = 50 , 比 例 环 节 {G_1(s)=50,比例环节} G1(s)=50
G 2 ( s ) = 1 s , 积 分 环 节 {G_2(s)=\frac{1}{s},积分环节} G2(s)=s1
G 3 ( s ) = 1 s , 积 分 环 节 {G_3(s)=\frac{1}{s},积分环节} G3(s)=s1
G 4 ( s ) = 1 s 2 + s + 1 , 振 荡 环 节 , ω 1 = 1 r a d / s {G_4(s)=\frac{1}{s^2+s+1},振荡环节,\omega_1=1rad/s} G4(s)=s2+s+11ω1=1rad/s
G 5 ( s ) = 1 10 s + 1 , 延 时 环 节 , ω 2 = 0.1 r a d / s {G_5(s)=\frac{1}{10s+1},延时环节,\omega_2=0.1rad/s} G5(s)=10s+11ω2=0.1rad/s
首先画出伯德图的草图:
《自动控制原理:如何用折线式伯德图计算截止频率?》
在卡西欧计算器上,利用未经化简的 L ( ω ) {L(\omega)} L(ω)求解的结果是 ω c = 1.4193 r a d / s {\omega_c=1.4193rad/s} ωc=1.4193rad/s,该值作为本文的真值。

方法一:利用 L ( ω ) {L(\omega)} L(ω)的分段函数特点

利用[1]中的方法(具体思路不再重复),可以求出转折频率的估计值:
(1)假设 ω c < 0.1 r a d / s {\omega_c<0.1rad/s} ωc<0.1rad/s,只考虑比例和积分环节,则有 L ( ω ) = 20 l g ( 50 ) − 40 l g ( ω ) {L(\omega)=20lg(50)-40lg(\omega)} L(ω)=20lg(50)40lg(ω)
L ( ω ) = 0 {L(\omega)=0} L(ω)=0,解得 ω = 50 {\omega=\sqrt{50}} ω=50 ,不符合假设,舍去。
(2)假设 0.1 r a d / s < ω c < 1 r a d / s {0.1rad/s<\omega_c<1rad/s} 0.1rad/s<ωc<1rad/s,不考虑振荡环节,则有
L ( ω ) = 20 l g ( 50 ) − 40 l g ( ω ) − 20 l g ( 10 ω ) {L(\omega)=20lg(50)-40lg(\omega)-20lg(10\omega)} L(ω)=20lg(50)40lg(ω)20lg(10ω)
L ( ω ) = 0 {L(\omega)=0} L(ω)=0,解得 ω = 5 3 {\omega=\sqrt[3]{5}} ω=35 ,不符合假设,舍去。
(3)假设 ω c > 1 r a d / s {\omega_c>1rad/s} ωc>1rad/s,则有
L ( ω ) = 20 l g ( 50 ) − 40 l g ( ω ) − 20 l g ( 10 ω ) − 40 l g ( ω ) {L(\omega)=20lg(50)-40lg(\omega)-20lg(10\omega)-40lg(\omega)} L(ω)=20lg(50)40lg(ω)20lg(10ω)40lg(ω)
L ( ω ) = 0 {L(\omega)=0} L(ω)=0,解得 ω = 5 5 = 1.3797 r a d / s {\omega=\sqrt[5]{5}=1.3797rad/s} ω=55 =1.3797rad/s,符合假设,是正确的截止频率。

方法二:利用 ω {\omega} ω靠近零处的特点

ω {\omega} ω很小时,除了积分环节,其他环节都可以忽略,因此:
L ( ω ) = 20 l g ( 50 ) − 40 l g ( ω ) {L(\omega)=20lg(50)-40lg(\omega)} L(ω)=20lg(50)40lg(ω)
ω = 0.01 r a d / s {\omega=0.01rad/s} ω=0.01rad/s,有 L ( 0.01 ) = 20 l g ( 50 ) + 80 {L(0.01)=20lg(50)+80} L(0.01)=20lg(50)+80
ω = 0.01 r a d / s {\omega=0.01rad/s} ω=0.01rad/s开始, L ( ω ) {L(\omega)} L(ω)不断下降,因此可以把 ω c {\omega_c} ωc看作是下降过程中的一点。从 ω = 0.01 r a d / s {\omega=0.01rad/s} ω=0.01rad/s处下降到 ω c {\omega_c} ωc处, L ( ω ) {L(\omega)} L(ω)首先经过了 ω = 0.1 r a d / s {\omega=0.1rad/s} ω=0.1rad/s,然后经过了 ω = 1 r a d / s {\omega=1rad/s} ω=1rad/s,由此画出下面的阶梯图:
《自动控制原理:如何用折线式伯德图计算截止频率?》
对于图中折线的斜率,例如-40dB/dec,表示 ω {\omega} ω每增大10倍, L ( ω ) {L(\omega)} L(ω)就减小40,其余的同理。
因此,可以直接写出 L ( ω c ) {L(\omega_c)} L(ωc)的表达式:
L ( ω c ) = L ( 0.01 ) − 40 − 60 − 100 l g ( ω c ) − l g ( 1 ) l g ( 10 ) − l g ( 1 ) = 0 {L(\omega_c)=L(0.01)-40-60-100\frac{lg(\omega_c)-lg(1)}{lg(10)-lg(1)}=0} L(ωc)=L(0.01)4060100lg(10)lg(1)lg(ωc)lg(1)=0
前面很好理解,最后一项是什么呢?不妨将-100dB/dec的直线延伸到 ω = 10 r a d / s {\omega=10rad/s} ω=10rad/s看看:
《自动控制原理:如何用折线式伯德图计算截止频率?》
ω = 1 r a d / s {\omega=1rad/s} ω=1rad/s处到 ω = 10 r a d / s {\omega=10rad/s} ω=10rad/s处, L ( ω ) {L(\omega)} L(ω)减小了10。而图中的红色和黄色两个三角形是相似的,假设从 ω = 1 r a d / s {\omega=1rad/s} ω=1rad/s处到 ω c {\omega_c} ωc处下降了 x {x} x,根据比例关系很容易有:
l g ( ω c ) − l g ( 1 ) l g ( 10 ) − l g ( 1 ) = x 100 {\frac{lg(\omega_c)-lg(1)}{lg(10)-lg(1)}=\frac{x}{100}} lg(10)lg(1)lg(ωc)lg(1)=100x
用这种方法求出
ω c = 1 0 l g ( 5 ) 5 = 5 5 = 1.3797 r a d / s {\omega_c=10^\frac{lg(5)}{5}=\sqrt[5]{5}=1.3797rad/s} ωc=105lg(5)=55 =1.3797rad/s
与方法一的结论是相同的。

补充:
根据评论区carrot@的建议,最后“从 ω = 1 r a d / s {\omega=1rad/s} ω=1rad/s处到 ω = ω c r a d / s {\omega=\omega_c rad/s} ω=ωcrad/s处”也可以这么做:
假设 w = a w=a w=a时, L ( a ) = x L(a)=x L(a)=x ω c \omega_c ωc a a a的右侧。用d表示对数坐标系下横坐标到原点的长度,则有 d 1 = l g ( a ) , d 2 = l g ( ω c ) d_1=lg(a), d_2=lg(\omega_c) d1=lg(a),d2=lg(ωc)。以 d d d为自变量,可以写出直线 l l l的方程如图。
《自动控制原理:如何用折线式伯德图计算截止频率?》
如上,求出 y = 0 y=0 y=0时的 ω c \omega_c ωc表达式,然后代入 x x x即可。

总结

从结果来看,两种方法得到的结论是相同的,且都和计算器求解的结果比较接近,但是方法二的求解过程明显更简单,做题更节省时间。

参考文献

[1] https://wenku.baidu.com/view/f6abcd52dd36a32d73758182.html

    原文作者:百把人
    原文地址: https://blog.csdn.net/sheagu/article/details/113201858
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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