（一）何谓聚类

　　还是那句“物以类聚、人以群分”，如果预先知道人群的标签（如文艺、普通、2B），那么根据监督学习的分类算法可将一个人明确的划分到某一类；如果预先不知道人群的标签，那就只有根据人的特征（如爱好、学历、职业等）划堆了，这就是聚类算法。
　　聚类是一种无监督的学习（无监督学习不依赖预先定义的类或带类标记的训练实例），它将相似的对象归到同一个簇中，它是观察式学习，而非示例式的学习，有点像全自动分类。所谓簇就是该集合中的对象有很大的相似性，而不同集合间的对象有很大的相异性。簇识别（cluster identification）给出了聚类结果的含义，告诉我们这些簇到底都是些什么。通常情况下，簇质心可以代表整个簇的数据来做出决策。聚类方法几乎可以应用于所有对象，簇内的对象越相似，聚类的效果越好。　　
　　说白了，聚类（clustering）是完全可以按字面意思来理解的——将相同、相似、相近、相关的对象实例聚成一类的过程。简单理解，如果一个数据集合包含N个实例，根据某种准则可以将这N个实例划分为m个类别，每个类别中的实例都是相关的，而不同类别之间是区别的也就是不相关的，这就得到了一个聚类模型了。判别新样本点的所属类时，就通过计算该点与这m个类别的相似度，选择最相似的那个类作为该点的归类。
　　机器学习中常见的聚类算法包括 k-Means算法、期望最大化算法（Expectation Maximization，EM，参考“EM算法原理”）、谱聚类算法（参考机器学习算法复习-谱聚类）以及人工神经网络算法，本文介绍K-均值（K-means）聚类算法。

（二）K-均值聚类算法

1. 认识K-均值聚类算法

　　在聚类分析中，K-均值聚类算法（k-means algorithm）是无监督分类中的一种基本方法，其也称为C-均值算法，其基本思想是：通过迭代的方法，逐次更新各聚类中心的值，直至得到最好的聚类结果。
　　k-means算法的基础是最小误差平方和准则。其代价函数是：

　　式中，μc(i)表示第i个簇的质心，我们希望得到的聚类模型代价函数最小，直观的来说，各簇内的样本越相似，其与该簇质心的误差平方越小。计算所有簇的误差平方之和，即可验证分为k个簇时时的聚类是否是最优的。SSE值越小表示数据点越接近于它们的质心，聚类效果也越好。因为对误差取了平方，因此更加重视那些远离中心的点。一种肯定可以降低SSE值的方法是增加簇的个数，但这违背了聚类的目标，聚类的目标是在保持族数目不变的情况下提高簇的质量。
　　k-均值（k-means）聚类算法之所以称之为k-均值是因为它可以发现k个不同的簇，且每个簇的中心采用簇中所含子数据集样本特征的均值计算而成。k-均值是发现给定数据集的k个簇的算法，簇个数k由用户给定，每一个簇通过其质心( centroid) — 即簇中所有点的中心来描述。K-均值聚类算法需要数值型数据来进行相似性度量，也可以将标称型数据映射为二值型数据再用于度量相似性，其优点是容易实现，缺点是可能收敛到局部最小值，在大规模数据集上收敛较慢。
　　假设训练样本数据集X为(m, n）维矩阵，m表示样本数、n表示每个样本点的特征数，那么k-均值聚类算法的结果就是得到一个kxn维矩阵，k表示用户指定的簇个数，每一行都是一个长度为n的行向量–第i个元素就是该簇中所有样本第j（j=0,1,…,n-1）个特征的均值。下图是K-均值聚类算法聚类的过程：

2. 算法过程

假设要把样本集分为c个类别，算法如下：
（1）适当选择c个类的初始中心；
（2）在第k次迭代中，对任意一个样本，求其到c个中心的距离，将该样本归到距离最短的中心所在的类，
（3）利用均值等方法更新该类的中心值；
（4）对于所有的c个聚类中心，如果利用（2）（3）的迭代法更新后，值保持不变（目标函数收敛），则迭代结束，否则继续迭代。

（三） K-均值算法的实现

实现步骤：

　1.数据集的赋值
　2.k均值算法的python实现
　3.k均值算法的matlab实现

1.数据集的赋值

　　开始之前，我们可以看一下数据，如图：
　　

　　测试数据是二维的，共80个样本。有4个类。如下：
testSet.txt

1.658985    4.285136  
-3.453687 3.424321 4.838138    -1.151539  
-5.379713 -3.362104 0.972564    2.924086  
-3.567919 1.531611 0.450614    -3.302219  
-3.487105 -1.724432 2.668759    1.594842  
-3.156485 3.191137 3.165506    -3.999838  
-2.786837 -3.099354 4.208187    2.984927  
-2.123337 2.943366 0.704199    -0.479481  
-0.392370 -3.963704 2.831667    1.574018  
-0.790153 3.343144 2.943496    -3.357075  
-3.195883 -2.283926 2.336445    2.875106  
-1.786345 2.554248 2.190101    -1.906020  
-3.403367 -2.778288 1.778124    3.880832  
-1.688346 2.230267 2.592976    -2.054368  
-4.007257 -3.207066 2.257734    3.387564  
-2.679011 0.785119 0.939512    -4.023563  
-3.674424 -2.261084 2.046259    2.735279  
-3.189470 1.780269 4.372646    -0.822248  
-2.579316 -3.497576 1.889034    5.190400  
-0.798747 2.185588 2.836520    -2.658556  
-3.837877 -3.253815 2.096701    3.886007  
-2.709034 2.923887 3.367037    -3.184789  
-2.121479 -4.232586 2.329546    3.179764  
-3.284816 3.273099 3.091414    -3.815232  
-3.762093 -2.432191 3.542056    2.778832  
-1.736822 4.241041 2.127073    -2.983680  
-4.323818 -3.938116 3.792121    5.135768  
-4.786473 3.358547 2.624081    -3.260715  
-4.009299 -2.978115 2.493525    1.963710  
-2.513661 2.642162 1.864375    -3.176309  
-3.171184 -3.572452 2.894220    2.489128  
-2.562539 2.884438 3.491078    -3.947487  
-2.565729 -2.012114 3.332948    3.983102  
-1.616805 3.573188 2.280615    -2.559444  
-2.651229 -3.103198 2.321395    3.154987  
-1.685703 2.939697 3.031012    -3.620252  
-4.599622 -2.185829 4.196223    1.126677  
-2.133863 3.093686 4.668892    -2.562705  
-2.793241 -2.149706 2.884105    3.043438  
-2.967647 2.848696 4.479332    -1.764772  
-4.905566 -2.911070 

2、k均值算法的python实现

kmeans.py

################################################# 
# kmeans: k-means cluster 
# Author : stu_why
# Date : 2016-12-06
# HomePage : http://blog.csdn.net/zpp1994
# Email : 1620009136@qq.com
################################################# 
from sklearn.cluster import KMeans
import numpy
import matplotlib.pyplot as plt  

# step 1: load data
print('step 1: load data...') 

#读取testSet.txt数据并存储到dataSet中
dataSet = []
fileIn = open('testSet.txt')
for line in fileIn.readlines():  
    lineArr = line.strip().split()
    dataSet.append('%0.6f' % float(lineArr[0]))
    dataSet.append('%0.6f' % float(lineArr[1]))

# step 2: clustering...
print('step 2: clustering...')

#调用sklearn.cluster中的KMeans类
dataSet = numpy.array(dataSet).reshape(80,2)
kmeans = KMeans(n_clusters=4, random_state=0).fit(dataSet)

#求出聚类中心
center=kmeans.cluster_centers_
center_x=[]
center_y=[]
for i in range(len(center)):
    center_x.append('%0.6f' % center[i][0])
    center_y.append('%0.6f' % center[i][1])

#标注每个点的聚类结果
labels=kmeans.labels_
type1_x = []
type1_y = []
type2_x = []
type2_y = []
type3_x = []
type3_y = []
type4_x = []
type4_y = []
for i in range(len(labels)):
    if labels[i] == 0:
        type1_x.append(dataSet[i][0])
        type1_y.append(dataSet[i][1])
    if labels[i] == 1:
        type2_x.append(dataSet[i][0])
        type2_y.append(dataSet[i][1])
    if labels[i] == 2:
        type3_x.append(dataSet[i][0])
        type3_y.append(dataSet[i][1])
    if labels[i] == 3:
        type4_x.append(dataSet[i][0])
        type4_y.append(dataSet[i][1])

#画出四类数据点及聚类中心
plt.figure(figsize=(10,8), dpi=80)
axes = plt.subplot(111)
type1 = axes.scatter(type1_x, type1_y, s=40, c='red')
type2 = axes.scatter(type2_x, type2_y, s=40, c='green')
type3 = axes.scatter(type3_x, type3_y,s=40, c='pink' )
type4 = axes.scatter(type4_x, type4_y, s=40, c='yellow')
type_center = axes.scatter(center_x, center_y, s=40, c='blue')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')

axes.legend((type1, type2, type3, type4,type_center), ('0','1','2','3','center'),loc=1)
plt.show()  

代码运行结果：

其中，不同的类用不同的颜色来表示，其中的蓝色圆圈是对应类的均值质心点。

3、k均值算法的matlab实现

用matlab编写k-均值聚类程序：
kmean.m

% k-均聚类算法
clc
clear;

% main variables
dim = 2; % 模式样本维数
k = 4;   % 设有k个聚类中心

load('testSet.txt');
PM=testSet;% 模式样本矩阵 
N = size(PM,1);
figure();
subplot(1,2,1);
for(i=1:N)
   plot(PM(i,1),PM(i,2), '*r'); % 绘出原始的数据点
   hold on
end
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('聚类之前的数据点');

CC = zeros(k,dim); % 聚类中心矩阵，CC(i,:)初始值为i号样本向量
D = zeros(N,k); % D(i,j)是样本i和聚类中心j的距离

C = cell(1,k); %% 聚类矩阵，对应聚类包含的样本。初始状况下，聚类i(i<k)的样本集合为[i],聚类k的样本集合为[k,k+1,...N]
for i = 1:k-1
    C{i} = [i];
end
C{k} = k:N;

B = 1:N; % 上次迭代中，样本属于哪一聚类，设初值为1
B(k:N) = k;

for i = 1:k
    CC(i,:) = PM(i,:);
end

while 1   
    change = 0;%用来标记分类结果是否变化
    % 对每一个样本i，计算到k个聚类中心的距离
    for i = 1:N
        for j = 1:k
% D(i,j) = eulerDis( PM(i,:), CC(j,:) );
              D(i,j) = sqrt((PM(i,1) - CC(j,1))^2 + (PM(i,2) - CC(j,2))^2);
        end
        t = find( D(i,:) == min(D(i,:)) ); % i属于第t类
        if B(i) ~= t % 上次迭代i不属于第t类
            change = 1;
            % 将i从第B(i)类中去掉
            t1 = C{B(i)};
            t2 = find( t1==i );            
            t1(t2) = t1(1);
            t1 = t1(2:length(t1)); 
            C{B(i)} = t1;

            C{t} = [C{t},i]; % 将i加入第t类

            B(i) = t;
        end        
    end

    if change == 0 %分类结果无变化，则迭代停止
        break;
    end

    % 重新计算聚类中心矩阵CC
    for i = 1:k
        CC(i,:) = 0;
        iclu = C{i};
        for j = 1:length(iclu)
            CC(i,:) = PM( iclu(j),: )+CC(i,:);
        end
        CC(i,:) = CC(i,:)/length(iclu);
    end
end

subplot(1,2,2);
plot(CC(:,1),CC(:,2),'o')
hold on
for(i=1:N)
    if(B(1,i)==1)
        plot(PM(i,1),PM(i,2),'*b'); %作出第一类点的图形
        hold on
    elseif(B(1,i)==2)
        plot(PM(i,1),PM(i,2), '*r'); %作出第二类点的图形
     hold on
     elseif(B(1,i)==3)
        plot(PM(i,1),PM(i,2),'*g'); %作出第三类点的图形
        hold on
    else
        plot(PM(i,1),PM(i,2), '*m'); %作出第四类点的图形
        hold on
    end
end
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('聚类之后的数据点');
      % 打印C,CC 
for i = 1:k    %输出每一类的样本点标号
    str=['第' num2str(i) '类包含点: ' num2str(C{i})];
    disp(str);
end;              

利用testSet.tex的数据，代码运行结果如下：

并在命令行输出每个点的类标记：

第1类包含点: 5 9 13 17 1 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 77 73
第2类包含点: 2 6 10 14 22 26 30 34 38 42 46 50 54 58 62 66 70 74 78 18
第3类包含点: 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 63 67 71 3 75 79
第4类包含点: 16 36 48 64 28 8 4 68 52 40 24 72 32 56 12 76 44 20 60 80