为什么要用平衡二叉树？
因为二叉树没有平衡约束，当输入数据比较有序时，将导致树的高度极端不平衡，最严重的时候退化为一个类似链表的单路径树（比如输入完全有序数组）。
如：输入1，2，3，4。
1
\
2
\
3
\
4
当然，更平衡的代价是插入和删除变的更复杂。
AVL 树
AVL 树本质还是一种二叉树，只不过带有更严格的平衡条件：每个结点的左右子树的高度只差的绝对值（平衡因子）最多为1。
平衡因子 = 左子树高度 – 右子树高度
5
/ \
3 6
/ \ \
2 4 7
/
1
红黑树
红黑树本质上也是一种二叉树，但在每一个结点上增加了一个存储位来表示结点的颜色。一般而言，满足下面性质的树可以称为红黑树：
- 每个结点要么是红的，要么是黑的。
- 根结点是黑的。
- 每个叶结点，即空结点（NIL）是黑的。
- 如果一个结点是红的，那么它的俩个儿子都是黑的。
- 对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。
如下图所示，既是一颗红黑树：
AVL 树高度
AVL 树：最小高度 h=lg(n+1) ，满树，显然，不再证明
AVL 树：最大高度 h=1.44lg(n+2)−0.328 。
证明：
假设 Ni 表示高度为i的 AVL 树的最小结点个数。
- N0=0 (AVL 树高度为0，空树)
- N1=1 (AVL 树高度为1，只有一个根结点)
N2=2 (AVL 树高度为2，只有一个根结点和一个叶子结点)
2 / 1N3=4 (AVL 树高度为3，根节点的一个子树（不妨设为左子树）为 N2 树，另一个子树（不妨设为右子树）为 N1 树)
3 / \ 2 4 / 1N4=7 (AVL 树高度为3，根节点的一个子树（不妨设为左子树）为 N3 树，另一个子树（不妨设为右子树）为 N2 树)
5 / \ 3 6 / \ \ 2 4 7 / 1
综上， Nn=Nn−1+Nn−2+1 。
令 Nn=Fn+2−1 ，
所以： Fn+2=Fn+1+Fn
其中， F2=1 ， F3=2 ，如果令 F0=0 ， F1=1 ，并不会改变数列中的其他值，通过这种转换，此数列变为典型的 Fibonacci 数列，可求其通项公式：
Fn=ϕn5√−15√ϕn
Nn=ϕn+25√−15√ϕn+2−1
其中 ϕ=5√+12 。
事实上，当n较大时，上述式子的第二项相对第一项较小，可以忽略，简写为：
Fn=ϕn5√
Nn=ϕn+25√−1
但考虑到求的是 Nn 固定时，n 的最大值，也就是求 Fn 的下限，而 −1<15√ϕn+2<1 ，所以上述式子又可写为：
Fn=ϕn5√−1
Nn=ϕn+25√−2
所以，有 Nn 个结点的 AVL 树的最大高度为：
n=logϕ(5√(Nn+2))−2=log2(5√(Nn+2))log2(ϕ)−2=logϕ2∗log2(5√(Nn+2))−2=1.44∗log2(Nn+2)−0.328
结论参考《计算机程序设计》第3卷 6.2.3 以及《维基百科：AVT Tree》
Fibonacci 数列通项的推导过程可参考《编程之美》2.9节，或自行百度。
红黑树高度
红黑树：最小高度 h=lg(n+1) ，满树，显然，不再证明。 红黑树：最大高度 h=2lg(n+1) 。
证明：
可参考《算法导论》第13章-红黑树的证明方法 或者参考《麻省理工-算法导论》公开课中的证明，将红黑树转换为2-3-4树，通过2-3-4树的特性间接证明。
一颗大小为N的红黑树中，根节点到任意结点的平均路径长度约为：
1.001lg(N)
参考《Algorithms》第4版3.3.2
AVL 树和红黑树高度
AVL 树的高度范围为：
[lg(n+1),1.44∗lg(n+2)−0.328]
红黑树的高度范围为：
[lg(n+1),2∗lg(n+1)]
如果但从此看，AVL 树更适合查找，效率更高。
AVL 树插入
- 查找插入位置，复杂度为： O(lg(n))
- 追踪不平衡位置，最坏情况从叶子结点到根结点，复杂度为： O(lg(n))
- 最后经过一到两次旋转完成插入操作，复杂度为： O(lg(1))
但经验测试表明，除非 n 非常小，否则插入第 n 项所需要的查找次数平均为： 1.01∗lg(n)+0.1
参考《计算机程序设计》第3卷 6.2.3 以及《维基百科：AVT Tree》
AVL 树删除
- 查找删除位置，复杂度为： O(lg(n))
- 追踪不平衡位置，最坏情况从叶子结点到根结点，复杂度为： O(lg(n))
- 最后至多需要 O(lg(n)) 次旋转，因为要沿父节点一路调整，直到根结点。
参考《计算机程序设计》第3卷 6.2.3
红黑树插入
- 查找插入位置，复杂度为： O(lg(n))
- 经过一到两次旋转完成插入操作，复杂度为： O(lg(1))
- 插入操作影响了树的颜色，可以对其重新着色，做少量 O(lg(n)) 调整（重新着色的效率非常高）。
红黑树删除
- 查找删除位置，复杂度为： O(lg(n))
- 经过不超过三次旋转完成删除操作，复杂度为： O(lg(1))
- 删除和旋转操作影响了树的颜色，可以对其重新着色，做少量 O(lg(n)) 调整。
从此也可以看出，在删除操作中，AVL 树可能需要比红黑树更多的旋转操作。
AVL 树与红黑树区别
AVL 树是严格平衡二叉树，红黑树是非严格平衡二叉树，平衡条件比 AVL 树弱，它追求的是局部的平衡，而 AVL 树追求的是全局的平衡。
AVL 树用平衡因子来标识结点的高度，红黑树用颜色来标识。 空间占用方面：红黑树只需多余的1bit额外空间，而 AVL 树至少需要2bits。
但是考虑到内存的对齐问题，很多时候都额外分配4Bytes空间。
应用
在 C++ STL中，set、multiset和map、multiset都是用红黑树实现的。另外，linux的内核中也使用了红黑树。
结论
当输入数据完全随机时，不平衡二叉树有更大的优势；当输入数据比较随机（偶尔有序）时，红黑树更有优势，因为需要更少的平衡保持操作；当输入数据比较有序时，普通二叉树速度最慢，因为需要较多的查询操作（树的高度值最大），而 AVL 树性能最好，因为树的高度最低，需要更少的查询，其次是红黑树。
另外，使用父结点能带来更好的效率，因为可以更快的查询父节点，而不需遍历。当然，每个结点也需要额外的一个指针空间。
可参考《Performance Analysis of BSTs in System Software》中的实验。
AVL 树和红黑树的查找，插入和删除的复杂度都是 O(lg(n)) ，但是这个 O(lg(n)) 也是有差距的。网上很多说法是： AVL 树的删除操作复杂度为 O(lg(n)) ，而红黑树是 O(1) ，主要考虑的就是肯能进行的旋转操作的次数，从这方面考虑是对的，最也是红黑树可能性能更好的一个主要方面，但是不能忽略删除之前所需要的查找的复杂度 O(lg(n)) 。
一个不完全准确的说法：红黑树的插入删除更快，但是查询可能会稍慢。所以，如果经常插入删除的化还是使用红黑树，这样的情况也比较多；而偶尔进行插入删除，经常进行查询操作，可能 AVL 树性能更优。
补充
对于 AVL 树和红黑树的插入删除操作没有做更多介绍，因为太复杂，外加能力有限（其实很多我也不懂）。另外，很多涉及统计特性的内容也未详细探讨，有兴趣可参考下列文献。
对于 AVL 树的更多数学内容可参考《计算机程序设计》第3卷 6.2.3
对于红黑树的更多详细内容可参考《Algorithms》第4版3.3.2
对于 AVL 树和红黑树的对比可参考《Performance Analysis of BSTs in System Software》中的大量实验
另外，对于红黑树也可参考《Left-Leaning Red-Black Trees》
文中可能存在诸多错误，望多多指正。
