AVL树图文解析以及实现

本文原理转载自:AVL树图文解析和C实现 代码实现是自己写的~

 

概要

本章介绍AVL树。和前面介绍”二叉查找树“的流程一样,本章先对AVL树的理论知识进行简单介绍,然后给出C语言的实现。本篇实现的二叉查找树是C语言版的,后面章节再分别给出C++和Java版本的实现。
建议:若您对”二叉查找树”不熟悉,建议先学完”二叉查找树“再来学习AVL树。

目录

1. AVL树的介绍
2. AVL树的C实现
3. AVL树的C实现(完整源码)
4. AVL树的C测试程序

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更多内容数据结构与算法系列 目录 

(01) AVL树(一)之 图文解析 和 C语言的实现
(02) AVL树(二)之 C++的实现
(03) AVL树(三)之 Java的实现

 

AVL树的介绍

AVL树是根据它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis命名的。
它是最先发明的自平衡二叉查找树,也被称为高度平衡树。相比于”二叉查找树”,它的特点是:AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。 (关于树的高度等基本概念,请参考”二叉查找树(一)之 图文解析 和 C语言的实现 “)

《AVL树图文解析以及实现》

上面的两张图片,左边的是AVL树,它的任何节点的两个子树的高度差别都<=1;而右边的不是AVL树,因为7的两颗子树的高度相差为2(以2为根节点的树的高度是3,而以8为根节点的树的高度是1)。

AVL树的查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(logn)。
如果在AVL树中插入或删除节点后,使得高度之差大于1。此时,AVL树的平衡状态就被破坏,它就不再是一棵二叉树;为了让它重新维持在一个平衡状态,就需要对其进行旋转处理。学AVL树,重点的地方也就是它的旋转算法;在后文的介绍中,再来对它进行详细介绍。

 

AVL树的C实现

1. 节点

1.1 定义

struct AVLnode {
	int bf;
	int val;
	AVLnode *left;
	AVLnode *right;
	AVLnode(int v):bf(0), val(v), left(nullptr), right(nullptr){}
};

AVL树的节点包括的几个组成对象:
(01) val — 是关键字,是用来对AVL树的节点进行排序的。
(02) left — 是左孩子。
(03) right — 是右孩子。
(04) bf — 是balancing factor平衡因子(左子树高度-右子树高度)。

1.2 树的高度

int calHeight(AVLnode *root) {
	if(root) {
		int leftHeight=calHeight(root->left);
		int rightHeight=calHeight(root->right);
		return 1+(leftHeight>rightHeight?leftHeight:rightHeight);
	}
	return 0;
}

关于高度,有的文章中将”空二叉树的高度定义为-1″,而本文采用维基百科上的定义:树的高度为最大层次。即空的二叉树的高度是0,非空树的高度等于它的最大层次(根的层次为1,根的子节点为第2层,依次类推)。

2. 旋转
前面说过,如果在AVL树中进行插入或删除节点后,可能导致AVL树失去平衡。这种失去平衡的可以概括为4种姿态:LL(左左),LR(左右),RR(右右)和RL(右左)。下面给出它们的示意图:

《AVL树图文解析以及实现》

上图中的4棵树都是”失去平衡的AVL树”,从左往右的情况依次是:LL、LR、RL、RR。除了上面的情况之外,还有其它的失去平衡的AVL树,如下图:

《AVL树图文解析以及实现》
上面的两张图都是为了便于理解,而列举的关于”失去平衡的AVL树”的例子。总的来说,AVL树失去平衡时的情况一定是LL、LR、RL、RR这4种之一,它们都由各自的定义:

(1) LL:LeftLeft,也称为”左左”。插入或删除一个节点后,根节点的左子树的左子树还有非空子节点,导致”根的左子树的高度”比”根的右子树的高度”大2,导致AVL树失去了平衡。
     例如,在上面LL情况中,由于”根节点(8)的左子树(4)的左子树(2)还有非空子节点”,而”根节点(8)的右子树(12)没有子节点”;导致”根节点(8)的左子树(4)高度”比”根节点(8)的右子树(12)”高2。

(2) LR:LeftRight,也称为”左右”。插入或删除一个节点后,根节点的左子树的右子树还有非空子节点,导致”根的左子树的高度”比”根的右子树的高度”大2,导致AVL树失去了平衡。
     例如,在上面LR情况中,由于”根节点(8)的左子树(4)的左子树(6)还有非空子节点”,而”根节点(8)的右子树(12)没有子节点”;导致”根节点(8)的左子树(4)高度”比”根节点(8)的右子树(12)”高2。

(3) RL:RightLeft,称为”右左”。插入或删除一个节点后,根节点的右子树的左子树还有非空子节点,导致”根的右子树的高度”比”根的左子树的高度”大2,导致AVL树失去了平衡。
     例如,在上面RL情况中,由于”根节点(8)的右子树(12)的左子树(10)还有非空子节点”,而”根节点(8)的左子树(4)没有子节点”;导致”根节点(8)的右子树(12)高度”比”根节点(8)的左子树(4)”高2。

(4) RR:RightRight,称为”右右”。插入或删除一个节点后,根节点的右子树的右子树还有非空子节点,导致”根的右子树的高度”比”根的左子树的高度”大2,导致AVL树失去了平衡。
     例如,在上面RR情况中,由于”根节点(8)的右子树(12)的右子树(14)还有非空子节点”,而”根节点(8)的左子树(4)没有子节点”;导致”根节点(8)的右子树(12)高度”比”根节点(8)的左子树(4)”高2。

前面说过,如果在AVL树中进行插入或删除节点后,可能导致AVL树失去平衡。AVL失去平衡之后,可以通过旋转使其恢复平衡,下面分别介绍”LL(左左),LR(左右),RR(右右)和RL(右左)”这4种情况对应的旋转方法。

 

2.1 LL的旋转

LL失去平衡的情况,可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。如下图:

《AVL树图文解析以及实现》

图中左边是旋转之前的树,右边是旋转之后的树。从中可以发现,旋转之后的树又变成了AVL树,而且该旋转只需要一次即可完成。
对于LL旋转,你可以这样理解为:LL旋转是围绕”失去平衡的AVL根节点”进行的,也就是节点k2;而且由于是LL情况,即左左情况,就用手抓着”左孩子,即k1″使劲摇。将k1变成根节点,k2变成k1的右子树,”k1的右子树”变成”k2的左子树”。

LL的旋转代码(记得更新bf)

void llRotation(AVLnode *&root) {
	AVLnode *p=root->left;
	root->left=p->right;
	p->right=root;
	// update bf of root and p
	root->bf=calBf(root);
	p->bf=calBf(p);
	root=p;
}

 

2.2 RR的旋转

理解了LL之后,RR就相当容易理解了。RR是与LL对称的情况!RR恢复平衡的旋转方法如下:

《AVL树图文解析以及实现》

图中左边是旋转之前的树,右边是旋转之后的树。RR旋转也只需要一次即可完成。

 

RR的旋转代码(记得更新bf)

void rrRotation(AVLnode *&root) {
	AVLnode *p=root->right;
	root->right=p->left;
	p->left=root;
	// update bf of root and p
	root->bf=calBf(root);
	p->bf=calBf(p);
	root=p;
}

 

2.3 LR的旋转

LR失去平衡的情况,需要经过两次旋转才能让AVL树恢复平衡。如下图:

《AVL树图文解析以及实现》
第一次旋转是围绕”k1″进行的”RR旋转”,第二次是围绕”k3″进行的”LL旋转”。

LR的旋转代码

void lrRotation(AVLnode *&root) {
	rrRotation(root->left);
	llRotation(root);
}

 

2.4 RL的旋转
RL是与LR的对称情况!RL恢复平衡的旋转方法如下:

《AVL树图文解析以及实现》

第一次旋转是围绕”k3″进行的”LL旋转”,第二次是围绕”k1″进行的”RR旋转”。
RL的旋转代码

void rlRotation(AVLnode *&root) {
	llRotation(root->right);
	rrRotation(root);
}

3. 插入
插入节点的代码

void constructCore(AVLnode *&root, int val) {
	if(!root) {
		root = new AVLnode(val);
	}
	else {
		if(root->val==val) {
			cout << "The value " << val << " exists. Skip it." << endl;
			return;
		}
		// insert the val to the right subtree
		else if(root->val<val) {
			constructCore(root->right, val);
			root->bf=calBf(root);
			if(root->bf<-1) {
				if(root->right->bf<=0) {
					rrRotation(root);
				}
				else {
					rlRotation(root);
				}
				// rotation has updated the bf of the root
				// root->bf=calBf(root);
			}
		}
		// insert the val to the left subtree
		else {
			constructCore(root->left, val);
			root->bf=calBf(root);
			if(root->bf>1) {
				if(root->left->bf>0) {
					llRotation(root);
				}
				else {
					lrRotation(root);
				}
			}
		}
	}
}

 

4. 删除
删除节点的代码

void deleteNode(AVLnode *&root, int val) {
	if(!root) {
		cout << "Can not find the value " << val << " u want to delete." << endl;
		return;
	}
	if(root->val==val) {
		deleteNodeCore(root);
	}
	else if(root->val<val) {
		deleteNode(root->right, val);
		root->bf=calBf(root);
		if(root->bf>1) {
			if(root->left->bf>=0) {
				llRotation(root);
			}
			else {
				lrRotation(root);
			}
			// rotation has updated the bf of root
			// root->bf=calBf(root);
		}
	}
	else {
		deleteNode(root->left, val);
		root->bf=calBf(root);
		if(root->bf<-1) {
			if(root->right->bf<=0) {
				rrRotation(root);
			}
			else {
				rlRotation(root);
			}
			// rotation has updated the bf of root
			// root->bf=calBf(root);
		}
	}
}

void deleteNodeCore(AVLnode *&root) {
	if(!root->left) {
		AVLnode *d=root;
		root=root->right;
		delete d;
		d=nullptr;
	}
	else if(!root->right) {
		AVLnode *d=root;
		root=root->left;
		delete d;
		d=nullptr;
	}
	else {
         /* 如果tree的左子树比右子树高;
          * 则(01)找出tree的左子树中的最大节点
          * (02)将该最大节点的值赋值给tree。
          * (03)删除该最大节点。
          * 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身;
          * 采用这种方式的好处是:删除"tree的左子树中最大节点"之后,AVL树仍然是平衡的。*/
		if(root->bf==1) {
			AVLnode *smaller=findSmaller(root);
			int t=smaller->val;
			deleteNode(root, t);
			root->val=t;
			root->bf=calBf(root);
		}
        /* 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等,或右子树比左子树高1)
         * 则(01)找出tree的右子树中的最小节点
         * (02)将该最小节点的值赋值给tree。
         * (03)删除该最小节点。
         * 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身;
         * 采用这种方式的好处是:删除"tree的右子树中最小节点"之后,AVL树仍然是平衡的。 */
		else {
			AVLnode *larger=findLarger(root);
			int t=larger->val;
			deleteNode(root, t);
			root->val=t;
			root->bf=calBf(root);
		}
	}
}

AVLnode* findSmaller(AVLnode *root){
	AVLnode *p=root->left;
	while(p->right) {
		p=p->right;
	}
	return p;
}

AVLnode* findLarger(AVLnode *root) {
	AVLnode *p=root->right;
	while(p->left) {
		p=p->left;
	}
	return p;
}

注意关于AVL树的”前序遍历”、”中序遍历”、”后序遍历”、”最大值”、”最小值”、”查找”、”打印”、”销毁”等接口与”二叉查找树“基本一样,这些操作在”二叉查找树”中已经介绍过了,这里就不再单独介绍了。当然,后文给出的AVL树的完整源码中,有给出这些API的实现代码。这些接口很简单,Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)!

 

    原文作者:AVL树
    原文地址: https://blog.csdn.net/li1914309758/article/details/80951788
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