本文原理转载自:AVL树图文解析和C实现 代码实现是自己写的~
概要
本章介绍AVL树。和前面介绍”二叉查找树“的流程一样,本章先对AVL树的理论知识进行简单介绍,然后给出C语言的实现。本篇实现的二叉查找树是C语言版的,后面章节再分别给出C++和Java版本的实现。
建议:若您对”二叉查找树”不熟悉,建议先学完”二叉查找树“再来学习AVL树。
目录
1. AVL树的介绍
2. AVL树的C实现
3. AVL树的C实现(完整源码)
4. AVL树的C测试程序
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更多内容: 数据结构与算法系列 目录
(01) AVL树(一)之 图文解析 和 C语言的实现
(02) AVL树(二)之 C++的实现
(03) AVL树(三)之 Java的实现
AVL树的介绍
AVL树是根据它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis命名的。
它是最先发明的自平衡二叉查找树,也被称为高度平衡树。相比于”二叉查找树”,它的特点是:AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。 (关于树的高度等基本概念,请参考”二叉查找树(一)之 图文解析 和 C语言的实现 “)
上面的两张图片,左边的是AVL树,它的任何节点的两个子树的高度差别都<=1;而右边的不是AVL树,因为7的两颗子树的高度相差为2(以2为根节点的树的高度是3,而以8为根节点的树的高度是1)。
AVL树的查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(logn)。
如果在AVL树中插入或删除节点后,使得高度之差大于1。此时,AVL树的平衡状态就被破坏,它就不再是一棵二叉树;为了让它重新维持在一个平衡状态,就需要对其进行旋转处理。学AVL树,重点的地方也就是它的旋转算法;在后文的介绍中,再来对它进行详细介绍。
AVL树的C实现
1. 节点
1.1 定义
struct AVLnode {
int bf;
int val;
AVLnode *left;
AVLnode *right;
AVLnode(int v):bf(0), val(v), left(nullptr), right(nullptr){}
};
AVL树的节点包括的几个组成对象:
(01) val — 是关键字,是用来对AVL树的节点进行排序的。
(02) left — 是左孩子。
(03) right — 是右孩子。
(04) bf — 是balancing factor平衡因子(左子树高度-右子树高度)。
1.2 树的高度
int calHeight(AVLnode *root) {
if(root) {
int leftHeight=calHeight(root->left);
int rightHeight=calHeight(root->right);
return 1+(leftHeight>rightHeight?leftHeight:rightHeight);
}
return 0;
}
关于高度,有的文章中将”空二叉树的高度定义为-1″,而本文采用维基百科上的定义:树的高度为最大层次。即空的二叉树的高度是0,非空树的高度等于它的最大层次(根的层次为1,根的子节点为第2层,依次类推)。
2. 旋转
前面说过,如果在AVL树中进行插入或删除节点后,可能导致AVL树失去平衡。这种失去平衡的可以概括为4种姿态:LL(左左),LR(左右),RR(右右)和RL(右左)。下面给出它们的示意图:
上图中的4棵树都是”失去平衡的AVL树”,从左往右的情况依次是:LL、LR、RL、RR。除了上面的情况之外,还有其它的失去平衡的AVL树,如下图:
上面的两张图都是为了便于理解,而列举的关于”失去平衡的AVL树”的例子。总的来说,AVL树失去平衡时的情况一定是LL、LR、RL、RR这4种之一,它们都由各自的定义:
(1) LL:LeftLeft,也称为”左左”。插入或删除一个节点后,根节点的左子树的左子树还有非空子节点,导致”根的左子树的高度”比”根的右子树的高度”大2,导致AVL树失去了平衡。
例如,在上面LL情况中,由于”根节点(8)的左子树(4)的左子树(2)还有非空子节点”,而”根节点(8)的右子树(12)没有子节点”;导致”根节点(8)的左子树(4)高度”比”根节点(8)的右子树(12)”高2。
(2) LR:LeftRight,也称为”左右”。插入或删除一个节点后,根节点的左子树的右子树还有非空子节点,导致”根的左子树的高度”比”根的右子树的高度”大2,导致AVL树失去了平衡。
例如,在上面LR情况中,由于”根节点(8)的左子树(4)的左子树(6)还有非空子节点”,而”根节点(8)的右子树(12)没有子节点”;导致”根节点(8)的左子树(4)高度”比”根节点(8)的右子树(12)”高2。
(3) RL:RightLeft,称为”右左”。插入或删除一个节点后,根节点的右子树的左子树还有非空子节点,导致”根的右子树的高度”比”根的左子树的高度”大2,导致AVL树失去了平衡。
例如,在上面RL情况中,由于”根节点(8)的右子树(12)的左子树(10)还有非空子节点”,而”根节点(8)的左子树(4)没有子节点”;导致”根节点(8)的右子树(12)高度”比”根节点(8)的左子树(4)”高2。
(4) RR:RightRight,称为”右右”。插入或删除一个节点后,根节点的右子树的右子树还有非空子节点,导致”根的右子树的高度”比”根的左子树的高度”大2,导致AVL树失去了平衡。
例如,在上面RR情况中,由于”根节点(8)的右子树(12)的右子树(14)还有非空子节点”,而”根节点(8)的左子树(4)没有子节点”;导致”根节点(8)的右子树(12)高度”比”根节点(8)的左子树(4)”高2。
前面说过,如果在AVL树中进行插入或删除节点后,可能导致AVL树失去平衡。AVL失去平衡之后,可以通过旋转使其恢复平衡,下面分别介绍”LL(左左),LR(左右),RR(右右)和RL(右左)”这4种情况对应的旋转方法。
2.1 LL的旋转
LL失去平衡的情况,可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。如下图:
图中左边是旋转之前的树,右边是旋转之后的树。从中可以发现,旋转之后的树又变成了AVL树,而且该旋转只需要一次即可完成。
对于LL旋转,你可以这样理解为:LL旋转是围绕”失去平衡的AVL根节点”进行的,也就是节点k2;而且由于是LL情况,即左左情况,就用手抓着”左孩子,即k1″使劲摇。将k1变成根节点,k2变成k1的右子树,”k1的右子树”变成”k2的左子树”。
LL的旋转代码(记得更新bf)
void llRotation(AVLnode *&root) {
AVLnode *p=root->left;
root->left=p->right;
p->right=root;
// update bf of root and p
root->bf=calBf(root);
p->bf=calBf(p);
root=p;
}
2.2 RR的旋转
理解了LL之后,RR就相当容易理解了。RR是与LL对称的情况!RR恢复平衡的旋转方法如下:
图中左边是旋转之前的树,右边是旋转之后的树。RR旋转也只需要一次即可完成。
RR的旋转代码(记得更新bf)
void rrRotation(AVLnode *&root) {
AVLnode *p=root->right;
root->right=p->left;
p->left=root;
// update bf of root and p
root->bf=calBf(root);
p->bf=calBf(p);
root=p;
}
2.3 LR的旋转
LR失去平衡的情况,需要经过两次旋转才能让AVL树恢复平衡。如下图:
第一次旋转是围绕”k1″进行的”RR旋转”,第二次是围绕”k3″进行的”LL旋转”。
LR的旋转代码
void lrRotation(AVLnode *&root) {
rrRotation(root->left);
llRotation(root);
}
2.4 RL的旋转
RL是与LR的对称情况!RL恢复平衡的旋转方法如下:
第一次旋转是围绕”k3″进行的”LL旋转”,第二次是围绕”k1″进行的”RR旋转”。
RL的旋转代码
void rlRotation(AVLnode *&root) {
llRotation(root->right);
rrRotation(root);
}
3. 插入
插入节点的代码
void constructCore(AVLnode *&root, int val) {
if(!root) {
root = new AVLnode(val);
}
else {
if(root->val==val) {
cout << "The value " << val << " exists. Skip it." << endl;
return;
}
// insert the val to the right subtree
else if(root->val<val) {
constructCore(root->right, val);
root->bf=calBf(root);
if(root->bf<-1) {
if(root->right->bf<=0) {
rrRotation(root);
}
else {
rlRotation(root);
}
// rotation has updated the bf of the root
// root->bf=calBf(root);
}
}
// insert the val to the left subtree
else {
constructCore(root->left, val);
root->bf=calBf(root);
if(root->bf>1) {
if(root->left->bf>0) {
llRotation(root);
}
else {
lrRotation(root);
}
}
}
}
}
4. 删除
删除节点的代码
void deleteNode(AVLnode *&root, int val) {
if(!root) {
cout << "Can not find the value " << val << " u want to delete." << endl;
return;
}
if(root->val==val) {
deleteNodeCore(root);
}
else if(root->val<val) {
deleteNode(root->right, val);
root->bf=calBf(root);
if(root->bf>1) {
if(root->left->bf>=0) {
llRotation(root);
}
else {
lrRotation(root);
}
// rotation has updated the bf of root
// root->bf=calBf(root);
}
}
else {
deleteNode(root->left, val);
root->bf=calBf(root);
if(root->bf<-1) {
if(root->right->bf<=0) {
rrRotation(root);
}
else {
rlRotation(root);
}
// rotation has updated the bf of root
// root->bf=calBf(root);
}
}
}
void deleteNodeCore(AVLnode *&root) {
if(!root->left) {
AVLnode *d=root;
root=root->right;
delete d;
d=nullptr;
}
else if(!root->right) {
AVLnode *d=root;
root=root->left;
delete d;
d=nullptr;
}
else {
/* 如果tree的左子树比右子树高;
* 则(01)找出tree的左子树中的最大节点
* (02)将该最大节点的值赋值给tree。
* (03)删除该最大节点。
* 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身;
* 采用这种方式的好处是:删除"tree的左子树中最大节点"之后,AVL树仍然是平衡的。*/
if(root->bf==1) {
AVLnode *smaller=findSmaller(root);
int t=smaller->val;
deleteNode(root, t);
root->val=t;
root->bf=calBf(root);
}
/* 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等,或右子树比左子树高1)
* 则(01)找出tree的右子树中的最小节点
* (02)将该最小节点的值赋值给tree。
* (03)删除该最小节点。
* 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身;
* 采用这种方式的好处是:删除"tree的右子树中最小节点"之后,AVL树仍然是平衡的。 */
else {
AVLnode *larger=findLarger(root);
int t=larger->val;
deleteNode(root, t);
root->val=t;
root->bf=calBf(root);
}
}
}
AVLnode* findSmaller(AVLnode *root){
AVLnode *p=root->left;
while(p->right) {
p=p->right;
}
return p;
}
AVLnode* findLarger(AVLnode *root) {
AVLnode *p=root->right;
while(p->left) {
p=p->left;
}
return p;
}
注意:关于AVL树的”前序遍历”、”中序遍历”、”后序遍历”、”最大值”、”最小值”、”查找”、”打印”、”销毁”等接口与”二叉查找树“基本一样,这些操作在”二叉查找树”中已经介绍过了,这里就不再单独介绍了。当然,后文给出的AVL树的完整源码中,有给出这些API的实现代码。这些接口很简单,Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)!