AVL树的删除算法的两种实现方法

本文是本人原创，当时作为长安大学高一凡老师带的学生，我的毕业设计就是做一个AVL 算法的演示软件。其中，AVL树的删除算法在度娘和 谷歌了很久都没有找到逻辑通畅或者说是我能够看懂的。后来，闭门造成，费了十几张A4纸才把算法设计出来 

本文是当时我想投稿的一个草稿，只是当时太嫩，不敢投论文。。而且马上就毕业了，所以就一直没了下文。现，贡献该草稿，希望对要了解AVL树算法的同学有帮助。

<原创证明>邮件来往。

摘要：AVL树是一种重要的数据结构，凡是能够用二叉查找树的地方都能用AVL树代替，而且其效率最坏也是 .一般的数据结构书上通常都只介绍AVL树的插入算法。本文将讨论AVL树删除算法的递归和非递归实现及其可视化实现。

关键字：AVL树；删除；递归；非递归；可视化

1.删除结点的分类

对于要删除的结点设为E可以分为三种类型，如图1 所示

(1) 叶子结点

(2) 没有左子树且有右子树的结点

(3) 有左子树的结点

    对于叶子结点E可以直接删除，而对于只有右子树ER的结点可以将ER的值赋给E然后将ER释放并将E右孩子指空。

    对于第（3）种则要在EL中找到E的中序遍历的前驱结点。E的前驱结点为EL中值最大的结点。将前驱结点的值赋给E且删除前驱结点。

2 删除结点后的失衡类性及其调整

删除结点后可能导致其祖先结点的不平衡。由于左右对称，我们仅分析删除发生在右子树的情况。我们将各种情况删除前，删除后以及调整后整个过程的变化用图示的方法表示。

  图2.1描述的是在T的右子树TR中删除结点后导致T失衡，须进行R_Rotate(T)处理，处理之后各结点的平衡因子如图所示，且树不变矮。

   图2.2描述的是在T的右子树TR中删除结点后导致T失衡，须进行R_Rotate(T)处理，处理之后各结点的平衡因子如图所示，且树的高度减1 。

  图2.3描述的是在T的右子树TR中删除结点后导致T失衡，须进行LR_Rotate(T)处理，处理之后各结点的平衡因子如图所示，且树的高度减1 。           

图2.4描述的是在T的右子树TR中删除结点后导致T失衡，须进行LR_Rotate(T)处理，处理之后各结点的平衡因子如图所示，且树的高度减1 。

图2.5描述的是在T的右子树TR中删除结点后导致T失衡，须进行LR_Rotate(T)处理，处理之后各结点的平衡因子如图所示，且树的高度减1 。  

另外还有两种不发生失衡的情况如图2.6和图2.7所示  

图2.6描述的是在T的右子树TR中删除结点后的T的平衡因子变为1，树的高度不变

图2.7描述的是在T的右子树TR中删除结点后的T的平衡因子变为0，树的高度减1.

3 实现算法

 3.1 数据结构

template<typename T>struct BSTNode//平衡二叉树的结点类型结构体

{

       T data;//结点数据类型

       int bf;//结点的平衡因子，比二叉链表结点多此项

       BSTNode<T>*lchild,*rchild;//左右孩子指针

};

3.2 算法

  3.2．1 递归法

递归实现AVL树的结点删除的思想如下。

   在AVL树T上删除值为E的结点步骤如下：

（1）若树T为空，返回0退出否则到（2）;

（2）比较T的数据和E，若相等跳到（3），若E小于T->data跳到（4），若E大于T->data则跳到（5）

（3）分析T结点的类型

(3.1)若T是叶子结点则直接删除,树变矮即lower=1；

(3.2)若T只有右子树TR则将右子树结点的值赋给T，删除TR结点将T->rchild=NULL，lower=1;

(3.3)若T有左子树，则找到其中序遍历的前驱结点P，将P结点值用临时变量temp保存，并且用指针Tptr保存T；递归删除结点P；将Tptr所指结点即原T结点的值更新为temp；

  （4）在左子树T->lchild中递归删除值为E的结点，若删除成功检查左子树是否变矮即lower的值是否为1；若lower=0返回0退出；若lower=1则进行失衡调整各种情况上文有分析

  （5）在右子树T->rchild中递归删除值为E的结点，若删除成功检查左子树是否变矮即lower的值是否为1；若lower=0返回0退出；若lower=1则进行失衡调整，各种情况上文有分析

3.2．2非递归法

非递归的算法思想如下。

在AVL树T上删除值为E的结点的步骤如下：

初始化一个栈s ;

 （1） 若树T为空则返回0退出否则跳到(2);

 （2） p为工作指针p=T;比较p的数据和E，若相等则跳到（3），若E小于p->data则跳到（4），若E大于p->data则跳到（5）

 （3） 分析p结点的类型

           （3.1）若p是叶子结点则直接删除，树变矮，

（3.1.1）若p是其父结点的左子树则lower=1;

（3.1.2）若p是其父结点的右子树则lower=2；

           （3.2） 若p只有右子树pR则将右子树结点的值赋给p然后删除删除pR，树变矮，lower的值 和（3.1）一样分析，之后不再特别说明则都和（3.1）处理一样。

           （3.3） 若p有左子树pL则将p和pL入栈,且用指针tempptr指向p即tempptr=p然后执行

                   q=TL ; While(q->rchild){q=q->rchild;s.push(q);}之后可以找到p的前驱结点q，将q的值赋给原p结点即tempptr->data=q->data，若q是叶子结点则直接删除否则将q的左子树代替q。树变矮且弹栈s.pop() ；然后执行如下循环体

                       （3.3.1）若栈不空且lower不为0则执行

                                   a.弹栈 q=s.top();s.pop();及其q的父结点fa=s.top();

                                     若fa=NULL则表明q是根结点则若要执行下面 b

                                     或c时不用在给lower赋值了。

                                   b.若lower=1 则表明左子树变矮，执行相应的失衡调整，并且调整过程中若导致q树变矮也得根据q为fa的左子树还是右子树将 lower=1或为lower=2；

                                   c. 若lower=2 则表明右子树变矮，执行相应的失衡调整，并且调整过程中若导致q树变矮也得根据q为fa的左子树还是右子树将 lower=1或为lower=2；

                   退出循环后返回0退出；

 （4）将p入栈且p=p->lchild;然后跳到（2）；

 （5）将p入栈且p=p->rchild;然后跳到（2）；

4实例分析

有如图3.1所示的AVL树

                            图3.1 

选择删除61结点后如

5结束语

无论是递归还是非递归实现AVL树的删除都比较复杂，将其总结为算法并配以图形化的实现使得AVL树的在课堂上讲解更为方便，继而有力的推广AVL树的应用。

6参考文献

严蔚敏，吴伟民.数据结构（C语言版）[M].北京：清华大学出版社,2007.