拓展kmp算法

转载:https://blog.csdn.net/dyx404514/article/details/41831947

拓展kmp是对KMP算法的扩展,它解决如下问题:

定义母串S,和字串T,设S的长度为n,T的长度为m,求T与S的每一个后缀的最长公共前缀,也就是说,设extend数组,extend[i]表示T与S[i,n-1]的最长公共前缀,要求出所有extend[i](0<=i<n)。

注意到,如果有一个位置extend[i]=m,则表示T在S中出现,而且是在位置i出现,这就是标准的KMP问题,所以说拓展kmp是对KMP算法的扩展,所以一般将它称为扩展KMP算法。

下面举一个例子,S=”aaaabaa”,T=”aaaaa”,首先,计算extend[0]时,需要进行5次匹配,直到发生失配。
 

《拓展kmp算法》

从而得知extend[0]=4,下面计算extend[1],在计算extend[1]时,是否还需要像计算extend[0]时从头开始匹配呢?答案是否定的,因为通过计算extend[0]=4,从而可以得出S[0,3]=T[0,3],进一步可以得到 S[1,3]=T[1,3],计算extend[1]时,事实上是从S[1]开始匹配,设辅助数组next[i]表示T[i,m-1]和T的最长公共前缀长度。在这个例子中,next[1]=4,即T[0,3]=T[1,4],进一步得到T[1,3]=T[0,2],所以S[1,3]=T[0,2],所以在计算extend[1]时,通过extend[0]的计算,已经知道S[1,3]=T[0,2],所以前面3个字符已经不需要匹配,直接匹配S[4]和T[3]即可,这时一次就发生失配,所以extend[1]=3。这个例子很有代表性,有兴趣的读者可以继续计算完剩下的extend数组。

1. 拓展kmp算法一般步骤

通过上面的例子,事实上已经体现了拓展kmp算法的思想,下面来描述拓展kmp算法的一般步骤。

首先我们从左到右依次计算extend数组,在某一时刻,设extend[0…k]已经计算完毕,并且之前匹配过程中所达到的最远位置为P,所谓最远位置,严格来说就是i+extend[i]-1的最大值(0<=i<=k),并且设取这个最大值的位置为po,如在上一个例子中,计算extend[1]时,P=3,po=0。
 

《拓展kmp算法》

 现在要计算extend[k+1],根据extend数组的定义,可以推断出S[po,P]=T[0,P-po],从而得到 S[k+1,P]=T[k-po+1,P-po],令len=next[k-po+1],(回忆下next数组的定义),分两种情况讨论:

 第一种情况:k+len<P

《拓展kmp算法》

上图中,S[k+1,k+len]=T[0,len-1],然后S[k+len+1]一定不等于T[len],因为如果它们相等,则有S[k+1,k+len+1]=T[k+po+1,k+po+len+1]=T[0,len],那么next[k+po+1]=len+1,这和next数组的定义不符(next[i]表示T[i,m-1]和T的最长公共前缀长度),所以在这种情况下,不用进行任何匹配,就知道extend[k+1]=len。

第二种情况: k+len>=P

 《拓展kmp算法》

上图中,S[p+1]之后的字符都是未知的,也就是还未进行过匹配的字符串,所以在这种情况下,就要从S[P+1]和T[P-k+1]开始一一匹配,直到发生失配为止,当匹配完成后,如果得到的extend[k+1]+(k+1)大于P则要更新未知P和po。 

至此,拓展kmp算法的过程已经描述完成,细心地读者可能会发现,next数组是如何计算还没有进行说明,事实上,计算next数组的过程和计算extend[i]的过程完全一样,将它看成是以T为母串,T为字串的特殊的拓展kmp算法匹配就可以了,计算过程中的next数组全是已经计算过的,所以按照上述介绍的算法计算next数组即可,这里不再赘述。
 

2.时间复杂度

下面来分析一下算法的时间复杂度,通过上面的算法介绍可以知道,对于第一种情况,无需做任何匹配即可计算出extend[i],对于第二种情况,都是从未被匹配的位置开始匹配,匹配过的位置不再匹配,也就是说对于母串的每一个位置,都只匹配了一次,所以算法总体时间复杂度是O(n)的,同时为了计算辅助数组next[i]需要先对字串T进行一次拓展kmp算法处理,所以拓展kmp算法的总体复杂度为O(n+m)的。其中n为母串的长度,m为子串的长度。

拓展kmp算法的关键部分代码实现

const int maxn=100010;   //字符串长度最大值
int next[maxn],ex[maxn]; //ex数组即为extend数组
//预处理计算next数组
void GETNEXT(char *str)
{
    int i=0,j,po,len=strlen(str);
    next[0]=len;//初始化next[0]
    while(str[i]==str[i+1]&&i+1<len)//计算next[1]
    i++;
    next[1]=i;
    po=1;//初始化po的位置
    for(i=2;i<len;i++)
    {
        if(next[i-po]+i<next[po]+po)//第一种情况,可以直接得到next[i]的值
        next[i]=next[i-po];
        else//第二种情况,要继续匹配才能得到next[i]的值
        {
            j=next[po]+po-i;
            if(j<0)j=0;//如果i>po+next[po],则要从头开始匹配
            while(i+j<len&&str[j]==str[j+i])//计算next[i]
            j++;
            next[i]=j;
            po=i;//更新po的位置
        }
    }
}
//计算extend数组
void EXKMP(char *s1,char *s2)
{
    int i=0,j,po,len=strlen(s1),l2=strlen(s2);
    GETNEXT(s2);//计算子串的next数组
    while(s1[i]==s2[i]&&i<l2&&i<len)//计算ex[0]
    i++;
    ex[0]=i;
    po=0;//初始化po的位置
    for(i=1;i<len;i++)
    {
        if(next[i-po]+i<ex[po]+po)//第一种情况,直接可以得到ex[i]的值
        ex[i]=next[i-po];
        else//第二种情况,要继续匹配才能得到ex[i]的值
        {
            j=ex[po]+po-i;
            if(j<0)j=0;//如果i>ex[po]+po则要从头开始匹配
            while(i+j<len&&j<l2&&s1[j+i]==s2[j])//计算ex[i]
            j++;
            ex[i]=j;
            po=i;//更新po的位置
        }
    }
}

 接下来是OJ上的一些练习题:

HDU 6153(扩展KMP)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6153

题目描述

给定两个串,求其中一个串s的每个后缀在另一个串t中出现的次数乘以其长度之和。

解题思路

扩展KMP模板题,将s和t串都逆序以后就变成了求前缀的问题了。反转两个字符串,用kmp找T在S中出现的次数,每匹配一位成功,就代表那一位后缀出现加一。

代码部分

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

#define next nex
typedef long long ll;
const int mod = 1e9+7; 
const int maxn=1e6+10;   //字符串长度最大值  

int ans[maxn];
char s1[maxn],s2[maxn];   //s1主串,s2子串 
int next[maxn],ex[maxn]; //ex数组即为extend数组 

//预处理计算next数组  
void GETNEXT(char *str)
{
    int i=0,j,po,len=strlen(str);
    next[0]=len;//初始化next[0]
    while(str[i]==str[i+1]&&i+1<len)//计算next[1]
    i++;
    next[1]=i;
    po=1;//初始化po的位置
    for(i=2;i<len;i++)
    {
        if(next[i-po]+i<next[po]+po)//第一种情况,可以直接得到next[i]的值
        next[i]=next[i-po];
        else//第二种情况,要继续匹配才能得到next[i]的值
        {
            j=next[po]+po-i;
            if(j<0)j=0;//如果i>po+next[po],则要从头开始匹配
            while(i+j<len&&str[j]==str[j+i])//计算next[i]
            j++;
            next[i]=j;
            po=i;//更新po的位置
        }
    }
}

//计算extend数组  
void EXKMP(char *s1,char *s2)  
{  
    int i=0,j,po,len=strlen(s1),l2=strlen(s2);  
    GETNEXT(s2);//计算子串的nxt数组  
    while(s1[i]==s2[i]&&i<l2&&i<len)//计算ex[0]  
    i++;  
    ex[0]=i;  
    po=0;//初始化po的位置  
    for(i=1;i<len;i++)  
    {  
        if(next[i-po]+i<ex[po]+po)//第一种情况,直接可以得到ex[i]的值  
        ex[i]=next[i-po];  
        else//第二种情况,要继续匹配才能得到ex[i]的值  
        {  
            j=ex[po]+po-i;  
            if(j<0)j=0;//如果i>ex[po]+po则要从头开始匹配  
            while(i+j<len&&j<l2&&s1[j+i]==s2[j])//计算ex[i]  
            j++;  
            ex[i]=j;  
            po=i;//更新po的位置  
        }  
    }  
}  

int main()
{
    int t,len1,len2;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
		scanf("%s %s",s1,s2);
    	len1=strlen(s1),len2=strlen(s2);
    	memset(ans,0,sizeof(ans));
        strrev(s1);
        strrev(s2);//反转字符串
        EXKMP(s1,s2);
        for(int i=0;i<len1;i++)
        {
            ans[ex[i]]++;
        }
        ll sum=0;
        for(ll i=1;i<=len1;i++)
        {
            if(ans[i])
            {
                sum=sum+(1ll*ans[i]*(i+1)*i/2%mod);
                sum%=mod;
            }
        }
        printf("%lld\n",sum);
    }
    return 0;
}

 

    原文作者:算法
    原文地址: https://www.twblogs.net/a/5bd398d32b717778ac207eea
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