概念

• 递归：从已知问题的结果出发，用迭代表达式逐步推算出问题的开始的条件，即顺推法的逆过程，称为递归。
• 递推：递推算法是一种用若干步可重复运算来描述复杂问题的方法。递推是序列计算中的一种常用算法。通常是通过计算机前面的一些项来得出序列中的指定象的值。
• 递归与递推区别：相对于递归算法,递推算法免除了数据进出栈的过程，也就是说,不需要函数不断的向边界值靠拢,而直接从边界出发,直到求出函数值。

算法举例1

• 斐波那契数列：已知f(1) = 1 , f(2) = 1 , 且满足关系式f(n) = f(n-1) + f(n-2)，则f(50)等于多少？
• 分析：根据初始条件f(1) = 1 , f(2) = 1 和关系式f(n) = f(n-1) + f(n-2)，可知，f(3) = f(2) + f(1) , f(3) = f(2) + f(1) …….
• 编写代码（递归）

public class Fibonacci {

    static int fun(int n){
        if(n == 1 || n == 2){
            return 1 ;
        }else{
            return fun(n-1) + fun(n-2) ;
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        for(int i = 1 ; i <= 15 ; ++i)
        System.out.println(fun(i));
    }
}

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• 编写代码（递推）

static int fun2(int n){
        int a[] = new int[20] ;
        a[1] = 1 ;
        a[2] = 1 ;
        for(int i=3 ; i<=n ;i++){
            a[i] = a[i-1] + a[i-2] ;
        }
        return a[n] ;
    }

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算法举例2

• 使用递归计算1+2+…+100 ；
• 分析：递归关系为f(n) = f(n-1) + n ，递归出口为f(1) = 1 ;
• 编写代码（递归）：

public class Sum {

    static int fun(int n){
        if( n == 1){
            return 1 ;
        }else{
            return fun(n-1) + n ;
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        System.out.println(fun(100));
    }
}

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• 编写代码（递推）

static int fun2(int n){
        int a[] = new int [200] ;
        a[1] = 1 ;
        for(int i=2 ; i<=n ; i++){
            a[i] = a[i-1] + i ;
        }
        return a[n] ;
    }

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• 运行结果：

5050

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算法举例3

• 爬楼问题：假设有n阶楼梯，每次可爬1阶或2阶，则爬到第n层有几种方案？
• 问题分析：假设一阶时只有一种方案f(1) = 1 ; 二阶时有两种方案（即一次走一阶和一次走两阶）f(2) = 2 ;三阶时有3种 f(3) = 3 ;四阶时有五种 f(5) = 5 ;发现递归规律f(n) = f(n-1) + f(n-2) ; 递归出口为f(1) = 1、f(2) = 2 ;
• 编写代码（递归）：

public class Ladder {

    static int fun(int n){
        if(n == 1){
            return 1 ;
        }else if(n == 2){
            return 2 ;
        }else{
            return fun(n-1) + fun(n-2) ;
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        System.out.println(fun(5));
    }
}

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• 编写代码（递推）：

static int fun2(int n){
        int a[] = new int [200] ;
        a[1] = 1 ;
        a[2] = 2 ;
        for(int i=3 ; i<=n ;i++){
            a[i] = a[i-1] + a[i-2] ;
        }
        return a[n] ;
    }

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• 运行结果：

8

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由上述例子可知，递归的重点是找到递归关系和递归出口。