线段树原理　　　　

　　　　线段树是一颗二叉树，他的每个节点对应的都是一个区间，主要是通过对区间的分割和合并来修改节点的值， 然后再得到答案。

 　　　  现在给你一个 目的为求区间和 所造出来的线段树 线段树。如下图所示。

仔细观察，第一二三行方框内的值是他的下面2个子区间的和， 第四行的方框内的数字代表的是自身的值， 蓝色代表的是这个方框他包含的区间， 红色代表的是这个元素在数组中所储存的位置。（在绝大多数博客中，我们默认区间的左儿子他的下标是当前区间下标的2倍，右儿子的下标是当前区间的2倍再加上1，这个下标是认为定义的，你也可以将对应关系修改）。

为什么说用线段树可以节省求和时间呢， 假设我们需要查找区间 [1,8] 的和， 对于这个不用多说， 我们可以直接将最上面的那个46输出，因为最上面的那个矩形代表的就是区间 [1,8] 的和。

然后假设我们要查找区间 [3,7] 的和， 刚开始我们出现在区间 [1,8]的位置， 但是对于目标区间来说 [1,8] 太大了， 所以我们要继续往下走， 走到 [1,4] 和 [5,8] 的区间， 但是对于这2个区间来说， 还有一部分区域是落在查询区间之外的， 所以我们需要继续往下走，我们先分析区间 [1,4] , 对于他左儿子的区间[1,2]来说，没有任意一个点是落在查询区间内的， 所以我们不需要走到他的左儿子处， 然后走到右儿子[3,4]，可以发现 [3,4] 倍查询区间覆蓋了， 所以我们就不需要往下走了， 因为整个区间都倍覆蓋了， 直接将这个点的值返回就好了， 因为这个点就是他下面节点的和。 然后我们再看区间[5,8]， 先往左走， 走到左儿子区间 [5,6] ，也可以发现该区间倍查询区间覆蓋了，就不需要往下走了， 返回该节点的值，对于右儿子节点 [7,8] 来说，只有一部分区域倍查询区间覆蓋， 所以我们还需要往下走，继续往左边走， 发现 [7,7] 是合法区域， 返回该值， {8,8]不是合法区域，所以不对这快里的数据进行处理。 所以最后的结果就是 [3,4] + [5,6] + [7,7] 这3个区间的和。 可能你会说就5个点而已， 我直接加过去时间也就这样， 的确， 当点数小的时候线段树的优势并不会很明显，但是如果查询的区间长度会到达 1e5的话， 那么线段树就可以省下很多时间了。

线段树的某段区间内的值是可以修改的。

假设我们修改了区间[2,2]的值

我们就需要更新一下所有区间内含2的区间， 也就是顺着[2,2]一直往上走 按次序更新 [2,2]  -> [1,2] -> [1,4] -> [1,8] 这四个区间的值， 更新完了之后就可以继续愉快的去查询区间和了。 

可以发现， 每一次对于一个点更新之后， 她执行的点的数目就是logn个， 如果你使用的是前缀和去写的话， 就需要约更新n 个节点。 

代码实现

1，建树，对于一颗树需要先建树。这里用到的是递归建树。　

 1

 void Build(int l, int r, int rt){ // l,r 代表的是这个区间内的左端点 和 右端点， rt代表的是 [l,r] 这个区间内的值是存在哪一个位置的。
     if(l == r){
        scanf("%d", tree[rt]); /// tree[rt] = a[l]; 
         return ;
     }
      int m = (l+r) / 2;
      Build(l,m,rt*2); // 对于区间区分，我们一般将m点划入左半边区间
      Build(m+1,r,rt*2+1);
      PushUp(rt); // PushUp 函数是通过2个子节点来更新现在这个节点的状态， 对于不同的要求需要不同的写法。
 }

2，通过子节点来更新目前节点。　　

 void PushUp(int rt){
     tree[rt] = tree[rt*2] + tree[rt*2+1]; ///区间和的更新操作
 }
 void PushUp(int rt){
     tree[rt] = max(tree[rt*2], tree[rt*2+1]);///求区域最大值的更新操作
 }

3，更新某个节点。

 void Update(int l, int r, int rt, int L, int C){ // l,r,rt 与前面的定义一样， L代表的是要更新区间的位置，C代表的是修改后的值
      if(l == r){              /// 这里不能写成 if(l == L) 因为有可能左端点恰好是要更新的位置， 但是还有右端点， 我们直接更新的只有区间 [L,L]。
          tree[rt] = C;
         return ;
     }
     int m = (l+r) / 2;
     if(L <= m) Update( l, m, rt*2, L, C); //要更新的区间在左边部分，所以往左边走，更新左边
     else Update(m+1, r, rt*2+1, L, C); //要更新的区间在右边部分， 往右边走，更新右边
     PushUp(rt); //更新完子节点之后需要更新现在的位置， 需要保证线段树的性质。
 }

4, 查询区间和

查询的规则前面已经解释过一次了。

 int Query(int l, int r, int rt, int L, int R){// [L,R]为查询区间
     if(L <= l && r <= R){  // 如果成立则满足查询区间覆蓋了当前区间， 直接返回当前区间的值
         return tree[rt];
     }
     int m = (l+r) / 2;
     int ret = 0;
     if(L <= m) ret += Query(l, m, rt*2, L, R); //左边有一部分需要查询的区域。
     if(m < R) ret += Query(m+1, r, rt*2+1, L, R);//右边有一部分。
     return ret;
 } 

https://blog.csdn.net/weixin_43272781/article/details/83417979

https://blog.csdn.net/weixin_43272781/article/details/83418406

总结

1。首先对于大多数线段树题目来说， 第一步就是建树。 建树用法 Build(1,n,1)， [1,n]就是第一个节点所代表的区间长度。

2。在每次更新了点之后，为了保证线段树性质， 一定要去执行PushUP操作，保证线段树的性质不丢失。

3。线段树的精华就是，每一个节点代表着一段区间，这个节点的值，就是他所代表的区间内的值。

4。当底层节点只有5个点的时候， 我们处理线段树时， 需要将他变成8个节点， 如果给9个节点， 那么底层节点必须要有16个节点， 所以为了保证空间足够用，所以需要将空间开大2倍，然后由于每一层的上方都还有 m/2个点（m为该层节点的数目）。

所以空间需要再大两倍， 最终合起来就是4倍。 所以我们需要开 4n 的空间。

区间更新 lazy标记

现在我们突然遇到这样一个题目

A Simple Problem with Integers

Description

You have N integers, A1, A2, … , AN. You need to deal with two kinds of operations. One type of operation is to add some given number to each number in a given interval. The other is to ask for the sum of numbers in a given interval.

Input

The first line contains two numbers N and Q. 1 ≤ N,Q ≤ 100000.
The second line contains N numbers, the initial values of A1, A2, … , AN. -1000000000 ≤ Ai ≤ 1000000000.
Each of the next Q lines represents an operation.
“C a b c” means adding c to each of Aa, Aa+1, … , Ab. -10000 ≤ c ≤ 10000.
“Q a b” means querying the sum of Aa, Aa+1, … , Ab.

Output

You need to answer all Q commands in order. One answer in a line.

Sample Input

10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q 4 4
Q 1 10
Q 2 4
C 3 6 3
Q 2 4

Sample Output

4
55
9
15

Hint

The sums may exceed the range of 32-bit integers.

这个题目和上面题目不同的地方是更新， 在这个题目中， 他更新数据是成段更新， 上面的题目都是一个点一个点更新， 并且更新的次数不是很少， 我们不可能去像点更新一样， 将这些区域内的点都一个个更新过去。

前面提到过，线段树的每一个节点都代表着一段区间的性质， 所以假如我们需要对于区间 [5,8] 里面的数都加上 10。（基于更新[2,2]后的那个线段树）。

如果我们将一个个点覆蓋过去之后， 现在的这课树是这样的。

我们可以发现对节点3来说， 他所管辖的区间[5,8]都是要被更新的区间，并且他增加的指为40，即 区间长度（4） * 修改的值（10）。 我们可以发现，在区域更新的时候， 对于一个节点来说， 如果他所管理的区间 被 要更新的区间 覆蓋了， 那我们就提早了知道这一个节点的值。

然后我们引入一个概念， lazy标记， 还是对于开头的情况来说， 如果我们使用了lazy标记之后， 这一课线段树是这样的

在这一颗树上， 我们只修改了2个节点， 同时在节点3处增加了一个 lazy标记， 在这个标记中 lazy = 10。(即整段区间内每一个点都要加上的值）。接下来， 我们如果询问区间[1,8]的和， 我们直接返回节点1就好了。  如果我们询问区间 [3,8] 的和 那么只需要返回 [3,4] + [5,8] 的值。 我们可以看见如果不访问[5,8]的子区间的时候， 我并不会用到里面的值。 在这些时候， 我们并不需要更新里面的值， 更不更新都一样， 不会被访问到。

如果我们现在需要查询 [1,5]的和， 我们只需要将 lazy 标记下推，然后再更新对应的区间就好了。

然后我们返回 [1,4] + [5,5] 的值就好了。 

总结就是：

lazy标记的含义就是延迟更新，在我们不需要访问区间内部时就保留lazy标记的值，如果需要访问内部的时候，我们要先将lazy标记下推， 因为可能lazy标记还需要继续往下走。

在区域更新的时候，如果 当前区间 被 更新的区间完全覆蓋了， 就直接在这个节点加上 区间长度*修改的值， 并且更新这个点的lazy标记。

操作代码：

PushDown — 将lazy标记下推

void PushDown(int rt, int llen, int rlen){
    if(lazy[rt]){
        lazy[rt*2] += lazy[rt];
        lazy[rt*2+1] += lazy[rt];
        tree[rt*2] += lazy[rt] * llen;
        tree[rt*2+1] += lazy[rt] * rlen;
        lazy[rt] = 0;
    }
}

void Update(int l, int r, int rt, int L, int R, int C){
    if(L <= l && r <= R){
        tree[rt] += (LL)C*(r-l+1);
        lazy[rt] += C;
        return;
    }
    int m = (l+r) / 2;
    PushDown(rt, m-l+1, r-m);
    if(L <= m) Update(l, m, rt*2, L, R, C);
    if(m < R) Update(m+1, r, rt*2+1, L, R, C);
    PushUp(rt);
}

LL Query(int l, int r, int rt, int L, int R){
    if(L <= l && r <= R) return tree[rt];
    LL ans = 0;
    int m = (l+r) / 2;
    PushDown(rt, m-l+1, r-m);
    if(L <= m) ans += Query(l, m, rt*2, L, R);
    if(m < R) ans += Query(m+1, r, rt*2+1, L, R);
    return ans;
}

注意的就是每次对子区间进行修改的时候，我们都需要提前先把lazy标记下推。

#include<cstdio>
#define LL long long
const int N = 1e5+10;
LL tree[N<<2];
LL lazy[N<<2];
int a[N];
void PushUp(int rt){
    tree[rt] = tree[rt*2] + tree[rt*2+1];
}
void PushDown(int rt, int llen, int rlen){
    if(lazy[rt]){
        lazy[rt*2] += lazy[rt];
        lazy[rt*2+1] += lazy[rt];
        tree[rt*2] += lazy[rt] * llen;
        tree[rt*2+1] += lazy[rt] * rlen;
        lazy[rt] = 0;
    }
}
void Build(int l, int r, int rt){
    lazy[rt] = 0;
    if(l == r){
        tree[rt] = a[l];
        return ;
    }
    int m = (l+r) / 2;
    Build(l, m, rt*2);
    Build(m+1, r, rt*2+1);
    PushUp(rt);
}
void Update(int l, int r, int rt, int L, int R, int C){
    if(L <= l && r <= R){
        tree[rt] += (LL)C*(r-l+1);
        lazy[rt] += C;
        return;
    }
    int m = (l+r) / 2;
    PushDown(rt, m-l+1, r-m);
    if(L <= m) Update(l, m, rt*2, L, R, C);
    if(m < R) Update(m+1, r, rt*2+1, L, R, C);
    PushUp(rt);
}
LL Query(int l, int r, int rt, int L, int R){
    if(L <= l && r <= R) return tree[rt];
    LL ans = 0;
    int m = (l+r) / 2;
    PushDown(rt, m-l+1, r-m);
    if(L <= m) ans += Query(l, m, rt*2, L, R);
    if(m < R) ans += Query(m+1, r, rt*2+1, L, R);
    return ans;
}
int main(){
    int n, m, i, j, c;
    char str[N];
    while(~scanf("%d%d", &n, &m)){
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);
        Build(1, n, 1);
        while(m--){
            scanf("%s", str);
            if(str[0] == 'Q'){
                scanf("%d%d", &i, &j);
                printf("%lld\n", Query(1,n,1,i,j));
            }
            else if(str[0] == 'C'){
                scanf("%d%d%d", &i, &j, &c);
                Update(1,n,1,i,j,c);
            }
        }
    }
    return 0;
}

https://blog.csdn.net/weixin_43272781/article/details/83419816

 https://www.cnblogs.com/MingSD/p/9058037.html